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Frobenius (observación)

De por WikiMatematica.org

Conocida como la Forma Normal de Observación (FNO)

Ejemplo

Para el sistema dado por la ecuación input/output(I/=):

I/O: \dddot{x}+6\ddot{x}+11\dot{x}+6x=6y(t)

Encontramos las Variables de Estado q_1(t),q_2 (t), q_3 (t)(el número de variables de estado es conforme al grado de la ecuación diferencial):

q_1(t)=x(t)\to \dot{q_1}(t)=q_2(t)

q_2(t)=\dot{x}(t)\to \dot{q_2}(t)=q_3(t)

q_3(t)=\ddot{x}(t)\to \dot{q_3}(t)=-6q_1-11q_2-6q_3+6y(t)

Asumimos inicialmente que q_1(t) es igual a nivel cero(diferencialmente hablando), q_2(t) nivel uno, etc etc etc hasta q_n(t) es nivel n - 1 como podemos ver.

Entonces poniendo las variables de estado en términos de ellas mismas podemos igualar como en el caso uno: \dot{q_1}(t)=\dot{x}(t)=q_2(t) así sucesivamente hasta llegar al nivel n donde no podemos hacer esto por lo que despejamos de la ecuación de input/output el nivel diferencial respectivo a n, sustituyendo las literales 'x' por las q_n(t) respectivas.

Ecuaciones Dinámicas:

\dot{q}(t)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ -6 & -11 & -6 \end{bmatrix}q(t)+\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}y(t)

Siendo la matriz A la acompañada de q(t) y la B la de y(t). Entonces la primera fila de A es respectiva a los coeficientes que tiene \dot{q_1}(t) respecto a las columnas identificando a q_1(t),q_2(t),q_3(t) respectivamente. La fila dos a \dot{q_2}(t) y así sucesivamente.


Ecuación de Lectura:

x(t)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}q(t)+0\cdot y(t)

Las ecuaciones de lectura son los coeficientes que tiene 'x' en cualquiera de las variables de estado respectivas, siendo las columnas los coeficientes de q_1(t),q_2(t),q_3(t) respectivamente.

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