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Contenido

1 Introducción
2 Definición
3 Transformada de la función delta de Dirac
4 Propiedad de selectividad de la función Impulso
- 4.1 Propiedades
5 Ejemplos

Introducción

La delta de Dirac (inapropiadamente llamada función delta de Dirac) es una distribución (función generalizada) introducida por primera vez por el físico inglés Paul Dirac, en tanto que distribución define un funcional en forma de integral sobre un cierto espacio de funciones.

Los sistemas mecánicos trabajan muchas veces bajo una fuerza externa de magnitud mayor que actúa sólo durante un periodo muy corto. Por ejemplo, un relámpago puede hacer vibrar el ala de un avión, o una masa sujeta a un resorte puede recibir un fuerte impacto con la cabeza de un martillo, una pelota puede lanzarse hacia las alturas por un golpe violento dado con algún tipo de palo. Por tanto estos fenómenos se comportan de la manera que en un intervalo mínimo de tiempo experimentan fuerzas muy grandes y a su vez esta fuerza se disipa instantáneamente.

Diagrama esquematico de la función delta de dirac.

Definición

Es un impulso unitario que tiende al infinito cuando se aproxima el valor a cero y se expresa de la siguiente manera:

$\delta(t-t_0)=\displaystyle\lim_{a \to{0}}{}\delta_a(t-t_0)$

Se caracteriza mediante las dos propiedades siguientes:

$\delta(t-t_0)=\begin{Bmatrix} \infty & \mbox{ si }& t=t_0\\0 & \mbox{si}& t\neq t_0\end{Bmatrix}$

y

$\int_0^\infty \delta(t-t_0)dt=1$

Transformada de la función delta de Dirac

Se comienza expresando la función delta de Dirac en términos de la función escalón unitario:

$\delta(t-t_0)=\frac{1}{2a}[u(t-(t_0-a))-u(t-(t_0+a))]$

Según la linealidad la transformadade Laplace de esta expresión es:

$\mathfrak{L}\left\{{\delta(t-t_0)}\right\}=\frac{1}{2a}[\frac{e^{-s(t_0-a)}}{s}-\frac{e^{-s(t_0+a)}}{s}]=e^{-st_0}(\frac{e^{sa}-e^{-sa}}{2sa})$

Puesto que se tiene la forma indeterminada $0/0$ cuando $a$ tiende a $0$ , aplicamos la regla de L´Hopital:

$\mathfrak{L}\left\{{\delta(t-t_0)}\right\}=\displaystyle\lim_{a \to{0}}{}\mathfrak{L}\left\{{\delta(t-t_0)}\right\}=e^{-st_0}\displaystyle\lim_{a \to{0}}{}(\frac{e^{sa}-e^{-sa}}{2sa})=e^{-st_0}$

Propiedad de selectividad de la función Impulso

$\int_a^b f(x) \delta (x-x_0) \,d x = \left\{\begin{matrix} f(x_0) & \mbox{si } a < x_0 < b \\ 0 & \mbox{si } x_0 < a \ \mbox{o} \ x_0 > b \end{matrix}\right.$

Propiedades

Estas propiedades se pueden demostrar multiplicando ambos miembros de cada igualdad por una función f(x) e integrando teniendo en cuenta que la función Delta no puede formar parte del resultado a menos que esté dentro de una integral.

$\delta(x)=\delta(-x)=-x\delta'(x)\,\!$
$\delta'(x)=-\delta'(-x)\,\!$
$x^n\delta(x)=0 \qquad \forall n>0, x\in\mathbb{R}\,\!$
$(x-a)^n\delta(x-a)=0 \qquad \forall n>0\,\!$
$\delta(ax-b)=|a|^{-1}\delta(x-(b/a)) \qquad \forall a>0\,\!$
$h(x)\delta(x-a)=h(a)\delta(x-a)\,\!$
$h(x)\delta'(x-a) = h(a)\delta'(x-a)-h'(a)\delta(x-a)\,$
$\delta(f(x)) = \sum_n |f'(x_n)|^{-1}\delta(x-x_n), \quad \mbox{con}\ f(x_n)=0,\ f'(x_n)\ne 0$

Ejemplos

Ejemplo 1

Resolver $y''+y=4\delta(t-2\pi)$
sujeta a :
a) $y(0)=1; y'(0)=0$
b) $y(0)=0; y'(0)=0$

Solucion:
Para el inciso a:
Usando la transformada de Laplace obtenemos:
$s^{2}y(s)-s+y(s)=4e^{-2\pi s}$
$[s^{2}+1]y(s)=4e^{-2\pi s}+s$
$y(s)=\frac{4e^{-2\pi s}}{s^2+1}+ \frac{s}{s^2+1}$
Usando la transformada inversa obtenemos:
$y(t)=4sin(t-2\pi)\upsilon (t-2\pi)+cos(t)$
$y(t)=4sin(t)\upsilon (t-2\pi)+cos(t)$

Para el inciso b:
Usando la transformada de Laplace obtenemos:
$s^{2}y(s)+y(s)=4e^{-2\pi s}$
$[s^{2}+1]y(s)=4e^{-2\pi s}$
$y(s)=\frac{4e^{-2\pi s}}{s^2+1}$
Usando la transformada inversa obtenemos:
$y(t)=4sin(t)\upsilon (t-2\pi)$