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Función Heaviside

De por WikiMatematica.org


http://youtu.be/lmyTMeoJsnE

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo.

Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda prendida indefinidamente.

Contenido

Definición

En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario o función Heaviside.

La función Heaviside, es una función discontinua cuyo valor es 1 para el argumento positivo y 0 en el resto del intervalo.

H(t-a)=\begin{cases} 0, & 0\leq t < a \\ 1, & x \geq a \end{cases}


Definimos H(t-a) sólo en el eje t no negativo puesto que es todo lo que nos interesa en el estudio de la transformada de Laplace.

En el sentido más amplio, H(t-a)=0 cuando t<a. Cuando una función f definida para t\geq0 se multiplica por H(t-a), la función escalón unitario "desactiva" una porción de la gráfica de esa función.

Propiedades

  • Cambio de signo del argumento.
H(a-x) = 1-H(x-a)\,
H'(x-a) = \delta(x-a)\,
 \mathcal{L}\{ H(x-a) \}(s) = \frac{e^{-as}}{s}
  • Límites.
H(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{e^{-nx}+1}, \qquad
</dd></dl>
<p>H(x)-1 = \frac{2}{\pi}\lim_{y\to 0} \arctan \frac{x}{|y|}

 H(x) = \int_{-\infty}^x { \delta(t)}  dt
función escalón considerando H(0) = 1/2.

El valor de H(0) es causa de discusión. Algunos lo definen como H(0) = 0, otros H(0) = 1. H(0) = 1/2 es la opción usada más coherente, ya que maximiza la simetría de la función, y permite una representación de la misma a través de la función signo:  H(x) =
</p>
<pre> \begin{cases} 0,           & x < 0
            \\ \frac{1}{2}, & x = 0
            \\ 1,           & x > 0
 \end{cases}
</pre>
<p>

 H(x) = \frac{1}{2} \left ( 1 + \sgn(x) \right )

Puede especificarse con un subíndice el valor que se va a usar para H(0), de la siguiente forma: Plantilla:Ecuación Una forma de representar esta función es a través de la integral H(x)=\lim_{ \epsilon \to 0} -{1\over 2\pi i}\int_{-\infty}^\infty {1 \over \tau+i\epsilon} e^{-i x \tau} d\tau


Consideraciones

La función escalón unitario también se puede utilizar para escribir en forma compacta funciones definidas por tramos.

Una función general definida por tramos del tipo:



f(t)=\begin{cases} g(t); & 0\leq t < a \\ h(t); & t \geq a \end{cases}

Es la misma que:

f(t)=g(t)-g(t)H(t-a)+h(t)H(t-a)


Para 3 funciones tendriamos entonces que:



f(t)=\begin{cases} p(t); & 0\leq t < a \\ q(t); & a\leq t < b \\r(t) & t \geq b \end{cases}

Es la misma que:

f(t)=p(t)+\left [ q(t)-p(t) \right ]H(t-a)+\left [ r(t)-q(t) \right ]H(t-b)




Transformada de la Función Heaviside

Utilizando la definición de transformada obtenemos:


\mathfrak{L}\left\{{H(t-a)}\right\} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}H(t-a)dt


\ = \int_{0}^{a}e^{-st}(0)dt+ \int_{a}^{\infty}e^{-st}dt=\int_{a}^{\infty}e^{-st}dt=\left [{\frac{-e^{-st}}{s}}\right ]^{\infty}_{a}= {\frac{e^{-at}}{s}}

Segundo Teorema de Traslación

$$\large \mathfrak{L}\left\{f(t-a)U(t-a)\right\} = e^{-as} F(s)$$

Demostración

\int_{0}^{\infty }f(t-a)U(t-a)e^{-st}dt

\int_{a}^{\infty }f(t-a)e^{-st}dt

u=t-a dt=dt

\int_{0}^{\infty }f(u)U(t-a)e^{-s(u+a)}du

=\int_{0}^{\infty }f(u)U(t-a)e^{-su}e^{-sa}}du

=e^{-sa}\int_{0}^{\infty }f(u)e^{-su}du

=e^{-sa}F(s)

Ejemplos

Ejemplo1

\mathfrak{L}\left\{(t-2)^2U(t-2)\right\}

= \frac{2}{s^3}e^{-2s}

Ejemplo2

\mathfrak{L}\left\{U(t-a)\right\}

 = \frac{1}{s}e^{-as}

Ejemplo3

Tras.jpg Grafica f(t)

 f(t)= 2-3U(t-2)+U(t-3)

\mathfrak{L}\left\{f(t)\right\}= \frac{2}{s}-\frac{3}{s}e^{-2s}+\frac{1}{s}e^{-3s}

Ejemplo4

f(t)= sen(t) U(t-2\pi )

\mathfrak{L}\left\{f(t)\right\}= \frac{1}{s^2+1}e^{-2\pis}

Ejemplo5

f(t)= (t-2)^2 U(t-2)

\mathfrak{L}\left\{f(t)\right\}= \frac{2}{s^3}e^{-2s\pis}

Ejemplo6

f(t)= U(t-a)

\mathfrak{L}\left\{f(t)\right\}= \frac{1}{s}e^{-as}

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