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Función característica

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Funciones Características de las clases

Se define como función característica h(t) a la respuesta (output) que genera el sistema cuando la entrada (imput) es la función Heaviside.


 H(t)= \left\{\begin{matrix}
0; & t < 0 \\ 
1; & t\geq0 
\end{matrix}\right.

Funcion caracteristica.JPG


Función Caracteristica de la Clase P

\begin{matrix}I/O :  x(t) = k \cdot y(t) \\ h(t) = k \cdot H(t) = \left\{\begin{matrix} 0; & t < 0 \\ k; & t\geq0 \end{matrix}\right.\end{matrix}

Clase P.JPG

Función Caracteristica de la Clase $PT_1$

I/O:


T \dot{x} + x = ky

T \dot{h} + h = kH(t)

\begin{matrix}h(t)=0, & t<0, & h(0)=0\end{matrix}

\begin{matrix}T \dot{h} + h = k,& t\geq 0\end{matrix}


Solucion Transitoria (Homogenea)


EHA:

T \dot{h} + h = 0


EC:

\begin{matrix}TP + 1 = 0 & \Rightarrow  & P = -\frac{1}{T}\end{matrix}


Solucion particular de la no homogenea


-Solucion estacionaria

T \dot{h} + h = k


-Coeficiente indeterminado propuesta:

h_{e}(t)=A sust. en ED

A=k


h(t)=h_{T}(t)+h_{e}(t)

h(t)= ce^{-\frac{t}{T}}+ k


Condicion Inicial:

\begin{matrix}h(0)=0 & \Rightarrow & 0=c+k & \Rightarrow & c=-k\end{matrix}


Funcion Caracteristica:

\begin{matrix}h(t)=k\begin{bmatrix}1-e^{-\frac{t}{T}}\end{bmatrix}; & t\geq 0\end{matrix}

G1.jpg\Rightarrow Io.jpg \Rightarrow G2.jpg

Función Caracteristica de la Clase $IT_1$

I/O:


T \dot{x} + x = k\int_{0}^{t}y(\tau )d\tau

T \ddot{x} + \dot{x} = k\dot{y}(t)


Para

\ y(t) = H(t)

T \ddot{h} + \dot{h} = k ; \ \ t\geq 0


Solucion Transitoria (Homogenea)


EHA:

T \ddot{h} + \dot{h} = 0


EC:

T p^{2} + p = 0 \\p(T p + 1) = 0 \\ p_{1} = 0, \ p_{2} = - \frac{1}{T}


Propuesta


h_{t}(t)=c_{1}+c_{2}e^{-\frac{t}{T}}

Calculamos la solucion particular de la ecuacion NO homogenea

h_{e}(t)=At

Sustituyendo en E.D.

A=t

Entonces

h_{e}(t)=kt

Ahora

h(t)=c_{1}+c_{2}e^{-\frac{t}{T}}+kt; \ t\geq 0


Condiciones Iniciales:

h(0)=0 \ y \ \dot{h}(0)=0

\begin{matrix}h(0)=0 & \Rightarrow & 0=c_{1}+c_{2} & \Rightarrow & c_{1}=-c_{2} \\ \dot{h}(0)=0 & \Rightarrow & 0=-\frac{1}{T}c_{2}+k  \end{matrix}

\therefore c_{2}=kT \ y \ c_{1}=-kT


Funcion Caracteristica:

h(t)=-kT+kTe^{-\frac{t}{T}}+kt

h(t)=k[-T+Te^{-\frac{t}{T}}+t]

\begin{matrix}h(t)=k[t-T+Te^{-\frac{t}{T}}]; & t\geq 0 \end{matrix}



Función Caracteristica de la Clase $DT_1$

I/O:

T \dot{x} + x = k\dot{y}

para y = H(t)


\begin{matrix}\underset{t\to \textsc{(-0)}}{lim} H(t)=0 & & & \underset{t\to \textsc{(+0)}}{lim} H(t)=0\end{matrix}


T \dot{h} + h = k\dot{H}(t)


1era Solucion:

sustituir: h=\dot{u}


\begin{matrix}T \ddot{u} + \dot{u}= k\dot{H} & // \int dt\end{matrix}

T \dot{u} + u= kH


despejando obtenemos:

u=k\begin{bmatrix}1-e^{-\frac{t}{T}}\end{bmatrix}


\begin{matrix}h=\dot{u} & \Rightarrow & h=\frac{k}{t}\cdot e^{-\frac{t}{T}}; & & t\geq 0\end{matrix}


2da Solucion:

H(t) no es derivable en t=0

t\geq \varepsilon \neq 0

T\dot{x}+x=k\dot{y}

\begin{matrix}T\dot{x}+x=0 & & & X_{E}(t)=0\end{matrix}

\begin{matrix}T\dot{x}+x=k\dot{y} & // \int_{0}^{\varepsilon}...dt\end{matrix}


\int_{0}^{\varepsilon}T\dot{x}dt+\int_{0}^{\varepsilon}xdt=\int_{0}^{\varepsilon}k\dot{y}dt

T\begin{bmatrix}x(\varepsilon)-x(0)\end{bmatrix}+\int_{0}^{\varepsilon}xdt = k\begin{bmatrix}y(\varepsilon)+y(0)\end{bmatrix}

Tx(+0)+0=k\underset{H\rightarrow 1}{y(+0)}

Tx(+0)=k

x(+0)=\frac{k}{T}


como:

x_{E}(t)=0


x(t)=X_{T}(t)=ce^{-\frac{t}{T}}



Función Caracteristica de la Clase $PT_2$

Ecuacion I/O

\[T^{2}\ddot{x}+2DT\dot{x}+x=ky \]


\[x(0) = \dot{x}(0), x(t)=0 ;t<0


T^{2}\ddot{h}+2DT\dot{h}+h=0; t\geq 0


EHA: T^{2}\ddot{h}+2DT\dot{h}+h=0


EC: T^{2}P^{2}+2DTP+1=0


Despejando P tenemos:


P_{1}= \frac{-2DT+\sqrt{4D^{2}T^{2}-4T^{2}}}{2T^{2}}


P_{2}= \frac{-2DT-\sqrt{4D^{2}T^{2}-4T^{2}}}{2T^{2}}


Analizando los casos para D^2:


*  D^2 > 1 ; describe un sistema sobreamortiguado:



P_{1,_2} = \frac{-2DT  \pm \sqrt[]{4D^2T^2-4T^2 }}{2T^2}

h_{T}(t)=C_1e^{P_{1}t}+C_2e^{P_{2}t}

h_{e}(t)=k


\therefore h(t)=C_1e^{P_{1}t}+C_2e^{P_{2}t}+k


* D^2 =1 ; describe un sistema en amortiguamiento critico:

 


P_{1,2}=-\frac{D}{T}\frac{+}{}\frac{\sqrt{D^2-1}}{T}=-\frac{D}{T}\frac{+}{}\left ( 0 \right )=-\frac{D}{T}


P_{1}=P_{2}=P


h_{T}(t)=C_1e^{pt}+C_2e^{pt}

h_{e}(t)=k


\therefore h(t)=C_1e^{pt}+C_2e^{pt}+k


* D^2 < 1 ; describe un sistema subamortiguado:

http://www.pcpaudio.com/pcpfiles/doc_altavoces/amortiguamiento/RESPUESTA_CAJABR.gif

P_{1,2}=-\frac{D}{T}\frac{+}{}\frac{\sqrt{D^2-1}}{T}

  \sqrt[]{D^2-1}   = i*\sqrt[]{1-D^2}  =  iw


h_{T}(t)=e^{-\frac{D}{T}t}[C_{1}Cos(wt)+C_2Sen(wt)]

h_{e}(t)=k


\therefore h(t)=e^{-\frac{D}{T}t}[C_{1}Cos(wt)+C_2Sen(wt)]+k


Clase PIT_{1}:

h(t)=k_{1}\left ( 1-e^{\frac{-t}{T}} \right )+k_{2}T\left ( \frac{t}{T}+e^{\frac{-t}{T}}-1 \right )


Clase PDT_{1}:

h(t)=k_{1}\left ( 1-e^{\frac{-t}{T}} \right )+\frac{k_{2}}{T}e^{\frac{-t}{T}}

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