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Función de peso

De por WikiMatematica.org

La función de peso de un sistema es la respuesta al input Delta de Dirac.
\delta (t) \rightarrow  I/O \rightarrow g(t)

La Función de Dirac

Definimos:
\delta \varepsilon =1/\varepsilon \begin{bmatrix}
H(t) - H(t-\varepsilon)
\end{bmatrix}

\delta(t-a)= 1/\varepsilon \begin{bmatrix}
H(t-a) - H(t-a-\varepsilon )
\end{bmatrix}

Definición.
\delta (t) = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \delta \varepsilon (t)


\delta \to I/O\to g_{\varepsilon (t))}


g_{\varepsilon (t))} = \frac{1}{\varepsilon } [h(t)\varepsilon - h(t-\epsilon )]

Cuando,   \varepsilon \to 0


\delta _{\varepsilon } \to \delta (t)

Cuando,   \varepsilon \to 0

g_{\varepsilon}(t) \to g(t)

Cuando,   \varepsilon \to 0


g(t) = \lim_{\varepsilon \to 0} g_{\varepsilon }(t)


Ahora sustituyendo g_{\varepsilon }(t)


g(t) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{h(t)-h(t-\varepsilon)}{\varepsilon}


Sustituyendo: \varepsilon = \Delta u


t - \varepsilon = u \to t = u + \Delta u


g(t) = \lim_{\Delta u \to 0} \frac{h(u+\Delta u)-h(u)}{\Delta u} = \frac{\mathrm{dh} }{\mathrm{d} t}


g(t) = \frac{\mathrm{dh} }{\mathrm{d} t}

h(t) = \int_{0}^{t} g(\tau) d\tau; g(0) = 0;

Ejemplos

Clase P

Ecuación I/O: x(t)=ky(t)

h(t)=k ; t\geq0

g(t)=0 ; t\geq0


Clase PT1

Ecuación I/O: T\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}+x=ky(t)

h(t)=k[1-e^{-\frac{t}{T}}] ; t\geq 0

g(t)=\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}=\frac{k}{T}e^{-\frac{t}{T}} ; t\geq0


Clase IT_{1}

I/O: T \dot{x} + x = k\int_{0}^{t}y(\tau )d\tau

T \ddot{x} + \dot{x} = k\dot{y}(t)


\begin{matrix}h(t)=k[t-T+Te^{-\frac{t}{T}}]; & t\geq 0 \end{matrix}

g(t)=k\left [1 - e^{-\frac{t}{T}} \right ]  ; t\geq0

Clase DT_{1}:


I/O:

T \dot{x} + x = k\dot{y}

para y = H(t)

h(t)=\frac{K}{T}e^{-\frac{t}{T}} ; t\geq 0

g(t)=-\frac{K}{T^{2}}e^{-\frac{t}{T}}  ; t\geq0

Clase PT_2:


Caso 1: Sobre amortiguado \left | D>1 \right |\to D^{2}>1\to m_{1}\neq m_{2}

g(t)=k\left \lfloor \frac{m_{1}m_{2}e^{m_{2}t}}{m_{2}-m_{1}}- \frac{m_{1}m_{2}e^{m_{1}t}}{m_{2}-m_{1}}\right \rfloor

Caso 2: Amortiguado CriticoD=1\to D^{2}=1\to m_{1}= m_{2}

g(t)=k\left [ m^{2}te^{mt}-me^{mt} \right ]

Caso 3: Sub amortiguado \-1<D<1\to D^{2}<1\to m_{1}\neq m_{2}

g(t)=k\left [ be^{at}sen(bt)+\frac{a^{2}}{b}e^{at}sen(bt) \right ]

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