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Funciones Logarítmicas, por WikiMatematica.org
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Funciones Logarítmicas

De por WikiMatematica.org

Contenido

Leyes de los Logaritmos

Si   a > 0 y  a \neq 1 , la función exponencial  f(x) = a^{x} es creciente o decreciente y por tanto es una función uno a uno en virtud de la "prueba de la recta horizontal". En consecuencia, tiene una función inversa  f^{-1} , la cual se denomina la función logarítmica con base a y se denota como  \log_{a} . Si usamos la formulación de función inversa

 f^{-1}(x) = y \Leftrightarrow  f(y) = x

Entonces tenemos que:

 \log_{a}(x) = y \Leftrightarrow a^{y} = x

Cuando usamos la definicion de logaritmo para intercambiar una de otra entre la farma logaritmo  \log_{a}(x) = y \Leftrightarrow a^{y} = x

resulta util notar que para ambas formas la base es la misma.


Por tanto, si x>0, entonces \log_{a}x es el exponente al que debe elevarse la base a para dar  x . Por ejemplo,  log(10)0.001 = -3 , porque  10^{-3} = 0.001

Cuando las ecuaciones de cancelación se aplican a  f(x)= a^{x} y  f^{-1}(x) = loga(x) quedan como

 loga(a^{x}) = x para toda  x\, \epsilon R

 a^{\log_{a}^{x}} = x para toda  x > 0

La función logarítmica  \log_{a} tiene dominio  (0,\infty) y recorrido  R .

Si  x y  y son números positivos, entonces:

1)  log_{a}(xy) = log_{a}x + log_{a}y

2)  log_{a} \frac {x}{y} = log_{a}x - log{a}y

3)  log_{a}(x^{r}) = rlog_{a}x (en donde  r es cualquier numero real)

Para verificar estas leyes, usamos la identidad  x = b ^ {log_{b} x} para escribir dos números positivos cualesquiera  M y  N como:

 M = b ^ {log_{b} M} y  N = b ^ {log_{b} N }
de forma que

 MN = b^{log_{b}M} * b ^{lob_{b}N
o  MN = b^{log_{b}M + log_{b}N

De aquí podemos tener que:
 log_{b}MN = log_{b}M + log_{b} N

y así :

 \frac {M}{N} = \frac {b log_{b}M} {b log_{b} N}

 = b^{log_{b}M - log_{b} N }

 N^{c} = (b^{log_{b}N)^{c}

 = b^{c}^{log_{b}N}

Las funciones y = bx y y = logb x para b>0 y b diferente de uno son funciones inversas. Así que la gráfica de y = logb x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica de y = bx. La gráfica de y = bx tiene como asíntota horizontal al eje de x mientras que la gráfica de y = logb x tiene al eje de y como asíntota vertical.

Funk Logaritm01.gif


Funk Logaritm02.gif

Las funciones y = 2x y y = log2 x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la gráfica de y = log2 x es una reflexión de la gráfica de y = 2x sobre la recta y = x. El dominio de y = 2x es el conjunto de los números reales y el recorrido es todos los números reales mayores que cero. El dominio de y = log2 x es el conjunto de los números reales mayores que cero y el recorrido el conjunto de los números reales.

Ejemplo 1

Despejar las incognitas:

 a) log_{2} 8 = y
 b) log_{4} x = - \frac {1}{2}
 c) log_{b} 25 = 2

Solucion:

 a) log_{2} 8 = y
esto es equialente a  2^{y} = 8
entonces concluimos que  y = 3

 = 2^{3}

 b) log_{4} x = - \frac {1}{2}
esto es equivalente a  4 ^ - \frac {1}{2} = x
entonces  x = \frac {1}{4} ^ \frac {1}{2} = \frac {1}{2}

 c) log_{b} 25 = 2

esto es equivalente a  b^{2} = 25
entonces encontramos que  b = 5




Remplazando  y = log_{b} x por la ecuación equivalente  x = b^{y} obtenemos que:

 x = b ^ {log_{b} x}



Ejemplo 2

Aplicar las leyes de los logaritmos para evaluar  log_{2}80 - log{2}5

Usando la ley 2)  log_{a} \frac {x}{y} = log_{a}x - log{a}y , tenemos que :

 log_{2}80 - log{2}50 = log_{2} \frac {80}{5} = log_{2}16 = 4
porque  2^{4} = 16


JMG ♠

Funciones Logaritmicas



Logaritmos Comunes y Naturales

Hoy en dia utilizamos una calculadora para elevar los logaritmos con base 10 para los logaritmos comunes y con base e para los logaritmos naturales.


Logaritmos Comunes

EL logaritmo con base 10 se conoce como logaritmo común y se denota omitiendo la base:

                      log x= log_{10} x

A partir de la definicion de logaritmo determinamos que

                      log 10 = 1     y     log 100 = 2


Logaritmos Naturales

El logaritmo con base e se conoce como logaritmo natural y se denota po Ln

                     ln x =  log_{e} x

La funcion logaritmo natural y=ln x es la funcion inversa de la funcion exponencial y= ex.

                     ln x = y

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