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Funciones Polinomiales

De por WikiMatematica.org


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Contenido

Definición

Las funciones polinomiales están entre las expresiones mas sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones mas complicadas. Una función polinomial es una función cuya regla esta dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia mas alta que aparece de x.

Definición Si una función f está definida por 
f(x) = anXn + an1 − 1Xn − 1 + an − 2Xn − 2 + ... + a1 + a0 donde a0,a1,...,an son números reales (a_{n}\neq0)
y n es un entero no negativo. 
Entonces, f se llama una Función Polinomial de grado n. 

Ejemplo #1

f(x) = 3x5x2 + 7x − 1 es una función polinomial de grado 5.

Función Lineal

Una función lineal es una función polinomial de grado 1.

f(x) = ax + b

Función Cuadratica

Si el grado de una función polinomial es 2, se llama Función Cuadrática.

f(x) = ax2 + bx + c

Función Racional

Una función que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales

Q(x) = f(x) / g(x)

se llama función racional.

Función Algebraica

Una función algebraica es aquella que está formada por un número finito de operaciones algebraicas sobre la función identidad y la función constante.

Funciones Trascendentes

Las funciones trascendentes son las trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Teorema del valor intermedio

Si $f$ es una función polinomial y f(a) \neq f(b) para $a<b$, entonces $f$ toma todo valor entre $f(a)$ y $f(b)$ en el intervalor $[a,b]$.

Ejemplo #2

Demuestre que f(x) = x5 + 2x4 − 6x3 + 2x − 3 tiene un cero entre 1 y 2.

Al sustituir $x$ con 1 y 2 se obtienen estos valores de la función:

f(1) = 1 + 2 − 6 + 2 − 3 = − 4
f(2) = 32 + 32 − 48 + 4 − 3 = 17<center>

Dado que $f(1)$ y $f(2)$ tienen signos contrarios vemos que $f(c)=0$ para almenos un número real $c$ entre 1 y 2.

Ejemplo #3

Sea $f(x)=x^3+x^2-4x-4$. Halle todos los valores de $x$ tales que $f(x)$ sea positivo, y todos los $x$ tales que $f(x)$ sea negativo y traze la grafica de $f$.

Factorizemos primero $f(x)$ de la siguiente manera:

$$\begin{align*} f(x) &= x^3+x^2-4x-4&{\color{DarkRed} {dado}} \\ &=(x^3+x^2)+(-4x-4)&{\color{DarkRed} {agrupar \; términos}} \\ &=x^2(x+1)-4(x+1)&{\color{DarkRed} {factorizar \; x^2\;\;y\;-4}} \\ &= (x^2-4)(x+1)&{\color{DarkRed} {factorizar \; (x+1)}}\\ &= (x-2)(x+2)(x+1)&{\color{DarkRed} {diferencia \; de \; cuadrados}} \end{align*}$$

De aqui podemos ver que los cero de $f(x)$ (intersecciones con el eje $x$) son -2, -1 y 2. Notar que al sustituir estos valores en la función la función se hace cero. Los puntos correspondientes de la gráfica dividen el eje $x$ en cuatro partes y consideramos los intervalos abiertos $$(-\infty,-2), \; (-2,-1), \; (-1,2), \; (2,\infty)$$

Ahoda analizamos el signo de la función en cada uno de estos intervalor, mediante la siguiente tabla.

<center>

Intervalo $(\infty,-2)$ $(-2,-1)$ $(-1,2)$ $(2,\infty)$
Signo de $x+2$ $-$ $+$ $+$ $+$
Signo de $x+1$ $-$ $-$ $+$ $+$
Signo de $x-2$ $-$ $-$ $-$ $+$
Signo de $f(x)$ $-$ $+$ $-$ $+$
Posición en la
Grafica
Abajo
del eje $x$
Arriba
del eje $x$
Abajo
del eje $x$
Arriba
del eje $x$

Grafica

Grafica de $f(x)=x^3+x^2-4x-4$

Ejemplo



1. Para la función f(x)=x^3-2x^2-5x+6
(a) Determine el dominio de la función
(b) Las intercepciones con los ejes



(a) D_f=R el dominio de las funciones polinomiales son todos los números reales.
(b) Intercepciones con los ejes:
Si x=0
y=6
La curva intercepta al eje y en el punto (0, 6)
Si y=0
0=x^3-2x^2-5x+6
Por división sintética:
Los factores de 6 son: \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6
Por lo tanto, f tiene un factor de la forma x-1.
f(x)=x^3-2x^2-5x+6=(x+1)(x^2-x-6)
El factor x^2-x-6, puede descomponerse en:
x^2-x-6=(x-3)(x+2)
Finalmente:

Si y=0

x^3-2x^2-5x+6=0

(x-1)(x-3)(x+2)=0


Los valores de x son:
x-1=0  => x=1

x-3=0  => x=3

x+2=0  => x=-2

La curva corta al eje x en los puntos: (-2,0), (1,0) y (3,0)

Por lo tanto ahora ya podemos tener una idea mas clara de como es la grafica de dicha funcion.

Func.jpg

Ceros De Polinomios

Si P es un polinomio y c es un numero tal que P(c), entonces decimos que c es un cero de P. A continuacion se presentan formas equivalentes de decir lo mismo:

1. c es un cero de P 2. x = c es una raiz de la ecuacion P(x)=0 3. x-c es un factor de P(x) 4. x=c es una interseccion en x de la grafica de P

Entre cualesquiera dos ceros sucesivos del polinomio, los valores del mismo seran todos positivos o negativos. Por lo tanto, entre dos ceros sucesivos la grafica se encontrara en su totalidad por encima o por debajo del eje x.

El comportamiento final esta determinado por el termino en el polinomio que tiene la potencia mas alta de x.

Recomendaciones Para Graficar Un Polinomio

1. Factorice el polinomio para determinar todos sus ceros reales, estos son las intersecciones con el eje x de la grafica.

2. Elabore una tabla de valores del polinomio evaluando x entre y, a la izquierda y a la derecha de los ceros determinados en el paso 1.

3. Grafique las intersecciones y los puntos determinados.

4. Determine el comportamiento final del polinomio.

5. Trace la curva suave que pase por los puntos graficados en el paso 3. y que exhiba el comportamiento final.

Enlaces

  1. Formula cuadratica
  2. Matematica I <--- Temas Relacionados

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