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Funciones Trigonométricas y sus inversas

De por WikiMatematica.org


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La trigonometría fue inventada por la necesidad de medir ángulos y lados de triángulos. Los griegos eran los más interesados en estas mediciones, de ellos es de donde encontramos el significado de la palabra trigonometría , de la unión de dos palabras griegas, trigonon(triángulo) y metría (medición).

Contenido

Funciones Trigonométricas y sus Inversas

\sin\theta =\frac{y}{r} \cos\theta =\frac{x}{r} \tan\theta =\frac{y}{x}
\csc\theta=\frac{r}{y} \sec\theta=\frac{r}{x} \cot\theta=\frac{x}{y}


Definición: funciones seno y coseno

-Sea t cualquier número real y que determina el punto P(x,y). Entonces: sint = y y cost = x.

Propiedades del seno y del coseno

-Dado que t puede ser cualquier número real. el dominio de las funciones seno y coseno es {(-\infty ,   \infty)} .

-Los puntos P1 y P2 que corresponden a t y -t ,son simétricos con respecto al eje x. En consecuencia: sen( − t) = − sent y cos( − t) = cost.

-Una identidad importante que relaciona las funciones seno y coseno es: sen2t + cos2t = 1.



1) El seno del ángulo es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

sin\theta =\frac{op}{hip}

2) El coseno del ángulo es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

cos\theta =\frac{ady}{hip}

3) La tangente del ángulo es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

tan\theta =\frac{op}{ady}

4) La cosecante del ángulo es la relación entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

csc\theta =\frac{hip}{op}

5) La secante del ángulo es la relación entre la hipotenusa y el cateto adyacente.

sec\theta =\frac{hip}{ady}

6) La cotangente del ángulo es la relación entre el cateto adyacente y el opuesto.

cot\theta =\frac{ady}{op}

Funciones Trigonométricas Inversas.

Las tres funciones trigonométricas inversas usadas de manera común son:

1) Arcoseno: es la función inversa del seno del ángulo.

2) Arcocoseno: es la función inversa del coseno del ángulo.

3) Arcotangente: es la funcion inversa de la tangente del ángulo.

Gráficas de las funciones trigonométricas

Seno

Seno.png

Coseno

Coseno.png

Secante

Secante.png

Cosecante

Cosecante.png

Tangente

Tang.png

Cotangente

Cotangente.png

Seno inverso

Arcsin.png

Coseno inverso

Arccos.png

Tangente inversa

Arctan.png

Cotangente inversa

Arccot.png


Dominios De Las Funciones Trigonometricas

Función Dominio sen, cos Todos los numeros reales.

cot, csc Todos los numeros reales diferentes a n para cualquier entero.

Ejemplo1

Dado que sin\theta=\frac{4}{5} y cos\theta=\frac{3}{5}, encuentre los valores de las demás funciones trigonométricas.

tan\theta =\frac{sen\theta}{cos\theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}

sec\theta =\frac{1}{cos\theta} = \frac{1}{3/5} = \frac{5}{3}

csc\theta =\frac{1}{sen\theta} = \frac{1}{4/5} = \frac{5}{4}

cot\theta =\frac{1}{tan\theta} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}


Ejemplo 2

Tenemos que sin\theta=\frac{10}{15} y cos\theta=\frac{35}{25}, encontrar el valor de secante, cosecante, cotangente, tangente:

sec\theta =\frac{1}{cos\theta} = \frac{1}{35/25} = \frac{5}{7}

csc\theta =\frac{1}{sin\theta} = \frac{1}{10/15} = \frac{3}{2}

cot\theta =\frac{cos\theta}{sin\theta} = \frac{35/25}{10/15} = \frac{21}{10}

tan\theta =\frac{sin\theta}{cos\theta} = \frac{10/15}{35/25} = \frac{10}{21}


Identidades Trigonométricas

Son igualdades que involucran funciones trigonométricas aplicables para cualquier ángulo, de las cuales se pueden sacar otras identidades.

Estas identidades son:

sin2θ + cos2θ = 1

1 + cot2θ = csc2

tan2θ + 1 = sec2

sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

cos(2θ) = cos2(θ) − sin2(θ)

sin(\theta/2)=\pm \sqrt{\frac{1-cos(\theta)}{2}}

cos(\theta/2)=\pm \sqrt{\frac{1+cos(\theta)}{2}}

tan(\theta/2)=\frac{1-cos(\theta)}{sen(\theta)}

cot(θ / 2) = csc(θ) + cot(θ)


Propiedades Pares e Impares

El seno, la cosecante, la tangente y la cotangente son funciones impares, el coseno y la secante son funciones pares.

sen(-t)= -sen t

cos(-t)= cos t

tan(-t)= -tan t

csc(-t)= -csc t

sec(-t)= sec t

cot(-t)= -cot t


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