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Funciones crecientes y decrecientes

De por WikiMatematica.org


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Función Creciente
Función Decreciente
Función Constante

Contenido

Definición funciones crecientes y decrecientes

Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo.x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2).
Una fución f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo, x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2).

Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a,b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo[a,b]. Fab.gif

En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:

1.) Creciente en los intervalos (a,x3),(x5,x6)

2.) Decreciente en los intervalos(x3,x5),(x6,b)

Criterio de crecimiento y decrecimiento

Sea f una función continua en el intervalo cerrado \left [ a,b\right ] y derivable en el intervalo abierto \left (a,b\right ).

  1. Si {f}'(x)>0 \; \forall x \in \left (a,b\right ), f es creciente en \left [ a,b \right ]
  2. Si {f}'(x)<0 \; \forall x \in \left (a,b\right ), f es decreciente en \left [ a,b \right ]
  3. Si {f}'(x)=0 \; \forall x \in \left (a,b\right ), f es constante en \left [ a,b \right ]

Ejemplo 1

Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación f(x) = 1 / 2(x2 − 4x + 1).

Para ello calculemos la primera derivada de f:f'(x) = x − 2.

Como f'(x) > 0x − 2 > 0, o sea si x > 2, entonces f es creciente para x > 2.

Como f'(x) < 0x − 2 < 0, o sea si x < 2, entonces f es decreciente para x < 2.

En la gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.

Ejemplo1.gif

Ejemplo 2

Determinar los intervalos en que crece o decrece la función f con ecuación f(x) = (x + 1) / (x − 1), con x ≠ 1.

La derivada de f es f'(x) = − 2 / (x − 1)2.

Como (x − 1)2es mayor que cero para x en los Reales, x ≠ 1, y además − 2 < 0entonces f'(x) < 0para todo x en los Reales (x ≠ 1), por lo que la función f es decreciente para x en los Reales, x ≠ 1 . La siguiente, es la gráfica de dicha función:

Ejemplo2.gif

Ejemplo 3

Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación f(x) = x2 + (1 / x2) con x ≠ 0.

La derivada de f está dada por f'(x) = 2x − (2 / x3) que puede escribirse como f'(x) = [2(x − 1)(x + 1)(x2 + 1)] / x3

Como 2(x2 − 1) es positivo para toda x en los Reales entonces: f'(x) > 0 ←→ [(x − 1)(x + 1)] / x3 > 0 y

f'(x) < 0 </math> ←→ [(x − 1)(x + 1)] / x3 < 0

Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.

Tabla.GIF

Luego: f'(x) > 0 si x( − 1,0)U(1, + ) por lo que la función f crece en el intervalo ( − 1,0)U(1, + ) .

Además: f'(x) < 0 si x( − , − 1)U(0,1) de donde la función f decrece en el intervalo ( − , − 1)U(0,1) .

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Grafi3.GIF

Ejemplo 4

Trace la gráfica de la funcion definida por

f(x) = x3 − 6x2 + 9x + 1

Determine a partir de la gráfica los extremos relativos de f, los valores de x en los que ocurren los extremos relativos, los intervalos en los que f es creciente, y en los que f decrece. Confirme analíticamente la información obtenida gráficamente. Solucion La siguiente grafica muestra a f trazada en el rectángulo de inspección de [ − 3,5] por [ − 2,6]. A partir de esta gráfica, se determina que f tiene un valor máximo relativo de 5 en x = 1, y un valor mínimo relativo de 1 en x = 3. También, a partir de la gráfica se determina que f es creciente en los intervalos ( − inf,1] y [3,inf), y es decreciente en el intervalo [1,3]. Grafica3.jpg

Ahora se confirmará esta información mediante el criterio de la primera derivada calculando primero la derivada de f:

F(x) = 3x2 − 12x + 9

Los únicos números críticos son aquellos para los que F(x) = 0:

3x2 − 12x + 9 = 0

3(x − 3)(x − 1) = 0

x = 3x = 1

Por tanto, los números críticos de f son 1 y 3. Para determinar si f tiene un extremo relativo en estos números, se aplica el criterio de la primera derivada y los resultados se presentan en la tabla:

Tabla1.1.jpg

Las conclusiones de la tabla confirman la información determinada gráficamente.

Ejemplo 5

Sea

f(x) = x^{\frac{4}{3}} + 4x^{\frac{1}{3}}

Determine los extremos relativos de f y los valores de x en donde ellos ocurren. También determine los intervalos en los que f es creciente y en los que es decreciente. A poye las respuestas gráficamente.

Solucion Al diferenciar f se tiene

F(x) = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3}x^{\frac{-2}{3}}

 = \frac{4}{3}x^{\frac{-2}{3}}(x + 1)

Como F(x) no existe cuando x = 0 , y F(x) = 0 cuando x = − 1, entonces los números críticos de f son -1 y 0. Se aplica el criterio de la primera derivada y se resumen los resultados en la giguiente tabla:

Tabla2.jpg

La informacion de la tabla se apoya a trazar la gráfica de f en el recángulo de inspeccion de [ − 7.5]por[ − 5,5], como se muestra en la siguiente gráfica Grafica4.jpg

Demostración

Creciente

Supongamos que {f}'(x)>0\; \forall \in \left(a,b\right ) y sean x1 < x2 dos puntos arbitrarios del intervalo. Por el teorema del valor medio, sabemos que existe algún c tal que x1 < c < x2, y

\[{f}'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_{2}-x_{1}}\]

Como f'(c) > 0 y

x2x1 > 0, sabemos que

\[f(x_2)-f(x_1)>0\]

de donde se deduce que f(x1) < f(x2). Así pues, f es creciente en el intervalo.



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