.

Funciones de Bessel

De por WikiMatematica.org

Contenido

Función De Bessel

La explicación matemática y la deducción de la funciones de Bessel y su aplicación a frecuencia modulada están fuera del alcance de este documento pero se recomienda por simple curiosidad leer más sobre el tema en [Moore, 1993] o en textos apropiados al tema de radio-frecuencias. Las funciones de Bessel o funciones cilíndricas, se utilizan en la mecánica gravitatoria, pero también se aplican en otros campos como la propagación de ondas electromagnéticas y de calor. Las funciones de Bessel aparecen como coeficientes en las series de expansión de la perturbación indirecta de un planeta causada por el movimiento del Sol.

En el caso particular de síntesis de audio, si tenemos un índice  I=4, las primeras funciones de Bessel,  J_0 \cdots J_5 corresponden a las amplitudes de las bandas laterales en la siguiente manera:

  • La función de Bessel de orden 0 con el índice  I,  {J_0(I),} produce un escalar que es el coeficiente

para la amplitud de la frecuencia portadora.

  • La función de Bessel de primer orden  {J_1(I),} produce los coeficientes para las amplitudes de las primeras

bandas laterales por encima y por debajo de la frecuencia portadora.

  • La función de Bessel de segundo orden  {J_2(I),} produce los coeficientes para las amplitudes de las segundas

bandas laterales por arriba y por abajo de la frecuencia portadora y así sucesivamente.

  • Entre mas alto el orden de la frecuencia lateral, mas alto debe ser el índice de modulación para que esta frecuencia

tenga una amplitud perceptible o significativa. bandas laterales por arriba y por abajo de la frecuencia portadora y así sucesivamente.

  • Entre mas alto el orden de la frecuencia lateral, mas alto debe ser el índice de modulación para que esta frecuencia

tenga una amplitud perceptible o significativa.

Aplicaciones

La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de Laplace o a la ecuación de Helmholtz por el método de separación de variables en coordenadas cilíndricas o esféricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmente importantes en muchos problemas de propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otro problema descrito por las ecuaciones de Helmoltz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas. Cuando se resuelven sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero (α = n) y en problemas resueltos en coordenadas esféricas, se obtienen funciones de Bessel de orden semi-entero (α = n + 1 / 2), por ejemplo:


  • Ondas electromagnéticas en guías de onda cilíndricas.
  • Modos transversales electromagnéticos en guías ópticas.
  • Conducción del calor en objetos cilíndricos.
  • Modos de vibración de una membrana delgada circular (o con forma de anillo).
  • Difusión en una red.


También se usan funciones de Bessel en otro tipo de problemas como en procesado de señales.

Funciones de Bessel ordinarias

Las funciones de Bessel ordinarias de orden \alpha, llamadas simplemente funciones de Bessel de orden \alpha son soluciones de la ecuación de Bessel. Existen dos formas simples de expresar la solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro \alpha, que están asociadas a las funciones de Bessel ordinarias de primera y de segunda especie.

Funciones de Bessel de primera especie: J_\alpha

Las funciones de Bessel de primera especie y orden \alpha son las soluciones de la ecuación diferencial de Bessel que son finitas en el origen (x=0) para enteros no negativos \alpha y divergen en el límite x\rightarrow 0 para \alpha negativo no entero. El tipo de solución y la normalización de J_{\alpha}(x) están definidos por sus propiedades abajo indicadas. Para las soluciones de orden entero es posible definir la función J_{\alpha}(x) por su expansión en serie de Taylor en torno a x = 0

 J_\alpha(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k! \Gamma(k+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2k+\alpha} =\frac{x^\alpha}{2^\alpha\Gamma(\alpha+1)} \left[ 1-\frac{x^2}{2(2\alpha+2)}+\frac{x^4}{2\cdot4(2\alpha+2)(2\alpha+4)}-\ldots \right]

\Gamma(z) es la función gamma|función Gamma de Euler, una generalización del factorial para números complejos. Para \alpha no enteros, se necesitan expansiones en serie de potencias|series de potencias más generales.

Estas funciones cumplen que:

  • Si \alpha\notin\texbb{Z}, entonces J_\alpha(x) y J_{-\alpha}(x) son linealmente independientes, y por tanto dan una solución general de la ecuación de Bessel.
  • Si \alpha\notin\texbb{Z}, entonces J_{-\alpha}(x) no está definida en x = 0.
  • Si \alpha = n\in\texbb{Z}, entonces se cumple


J_{-n}(x) = (-1)^{n} J_{n}(x), \quad \forall n\notin\texbb{Z}

por lo que las dos soluciones dejan de ser linealmente independientes. En este caso, la segunda solución linealmente independiente será una función de Bessel de segunda especie.

Las gráficas de las funciones de Bessel nos muestras son funciones oscilatorias (como las funciones seno o coseno) que decaen proporcionalmente a 1/\sqrt{x} (como nos lo mostrarán las formas asintóticas de estas funciones más abajo), aunque los ceros de estas funciones no son, en general, periódicos, excepto de forma asintótica para grandes x.


Como casos particulares, se tienen las dos primeras funciones de Bessel enteras:

J_0(x)= 1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2 4^2}-\frac{x^6}{2^2 4^2 6^2}\ldots J_1(x)= \frac{x}{2}-\frac{x^3}{2^2 4}+\frac{x^5}{2^2 4^2 6}-\frac{x^7}{2^2 4^2 6^2 8}\ldots J'_0(x)= \frac{dJ_0(x)}{dx} = -J_1(x)

Busca mas temas

Loading


Anuncios