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Funciones ortogonales y conjuntos ortogonales

De por WikiMatematica.org

Contenido

Producto Interno

El producto interno de dos funciones f_1 y f_2 en un intervalos [a, b] es el número

(f_1,f_2)={\int_{a}^{b}}  f_1(x)f_2(x)\;dx

Supongamos que (u ,v) son vectores en el espacio tridimencional. El producto interno (u ,v) de los vectores, tambien se escribe u.v, posee las siguientes propiedades:

 1.- (u, v) = (v, u)
 2.- (ku, v) = k(u, v) , donde k es un escalar.
 3.- (u, u) = 0, si u=0, y (u, u)>0 si u0
 4.- (u+v,w)=(u,w)+(v,w)

Funciones ortogonoles

A diferencia del análisis vectorial, en donde la palabra ortogonal es sinónimo de "perpendicular", en el presente contexto el término ortogonal no tiene significado geométrico.

En "análisis funcional" se dice que dos funciones f y g de un cierto espacio son "ortogonales" si su producto escalar es nulo. Dos funciones f_1 y f_2 son ortogonales es un intervalo [a, b] si

(f_1,f_2)={\int_{a}^{b}}f_1(x)f_2(x)\;dx=0


Conjuntos Ortogonales

Un conjunto de funciones de valor real \left\{ \phi_0(x),\phi_1(x),\phi_2(x),...  \right \}} es ortogonal en un intervalo [a, b] si

(\phi_m,\phi_n)={\int_a^b}\phi_m(x)\phi_n(x)\;dx=0,\;\;\;m\neq n

EJEMPLO 1 Funciones ortogonales Las funciones ƒ1 (x) = x2 y ƒ2 (x) = x3 son ortogonales en el intervalo [ 1, 1] porque

Un conjunto de funciones {f 1(x), f 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] si cualesquiera dos funciones son ortogonales entre si.

(n ¹ m).

Se considerará solo conjuntos ortogonales en los que ninguna de las funciones son idénticamente iguales a cero en [a,b].

Los coeficientes de una serie respecto a un conjunto ortogonal tiene una forma útil, que se deducirá ahora. Suponga que {f 1(x), f 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] y que .

se considerará solo conjuntos ortogonales en los que ninguna de las funciones son idénticamente iguales a cero en [a,b]. Los coeficientes de una serie respecto a un conjunto ortogonal tiene una forma útil, que se deducirá ahora. Suponga que {f 1(x), f 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] y que . Se quiere obtener una fórmula para los coeficientes Cn en términos de f(x) y de las funciones ortogonales f n(x). Se selecciona un miembro del conjunto ortogonal, digamos, f n(x), y tome el producto interno con f(x). es decir, se multiplican ambos lados de por f n(x), y se integra sobre el intervalo para obtener suponga que la integración y la suma se puede intercambiar para dar . Pero f , forma un conjunto ortogonal, de manera que (f n, f m) = 0 si n ¹ m. Entonces se convierte en Teorema fundamental de una función por una serie de funciones ortogonales. Suponga que f(x) es diferenciable por partes en el intervalo [a,b] y que donde {f n(x)} es un conjunto ortogonal de funciones en [a,b]. Entonces Una prueba rigurosa del teorema incluye consideraciones técnicas que están más allá del nivel de esta investigación. Estas consideraciones se refieren a la convergencia de y a la demostración de que la suma y la integral se pueden intercambiar. Además cuando se escribe , de hecho, no se requiere que la serie converja a f(x) para toda x. Las condiciones suficientes para garantizar el intercambio de Fourier del seno y del coseno, también se analizan en qué sentido es igual a f(x). Sólo se necesita la continuidad por las partes de f y las f n para este teorema.


Ejemplo 2: Sea T un subconjunto de Rʒ

T={(1,0,0);(0,2,0);(0,0,-1)}.

Primeramente T es un sub espacio vectorial de Rʒ Sus elementos o vectores son distintos Al realizar su respectivo producto punto entre ellos nos da 0 esto se puede evidenciar claramente porque son vectores perpendiculares. Por lo tanto T es un conjunto ortogonal.

Todo conjunto ortogonal es linealmente independiente porque si:

T = { u1, u2, u3, …, un} ortogonal

T1= { α1u1, α2u2, … αnun} ortogonal

Siendo α un escalar

Al mutiplicar por cualquier escalar el conjunto sigue siendo ortogonal

Norma de una función

Dada la función \phi_n(x) su norma se define
\left \| \phi_n(x) \right \|=\sqrt{{\int_a^b}\phi_{n}^{2}\;dx}
El número
\left \| \phi_n(x) \right \|^2={\int_a^b}\phi_{n}^{2}\;dx
se llama norma cuadrada de \phi_n(x)

Conjunto ortonormal

Si \left \{\phi_n(x)  \right \} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a, b] y tiene la propiedad que \left \| \phi_n(x) \right \|=1 para n=0,1,2,..., se dice que \left \{\phi_n(x)  \right \} es un conjunto ortonormal en el intervalo.


Ejemplo #1

Demuestre que el Conjunto \left\{1,\cos x,\cos 2x,\cos 3x,...\right\} es ortogonal en el intervalo de [-π,π].

1.- Tenemos que hacer (1,\cos x),(1,\cos 2x),(1,\cos 3x),... pero eso nos llevaría demasiado tiempo y nunca lo terminaríamos ya que se va hasta ∞, nos damos cuenta que podemos escribir \cos nx donde n = 1,2,3,4,5,...

entonces podemos decir (1,\cos nx)=\int_{-\pi}^{\pi}1 \cdot \cos nx\;dx

eso el lo mismo que (1,\cos nx)=\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\;dx=[\frac{1}{n} \sin nx \right)]_{-\pi}^\pi

=\frac{1}{n}sen(n{\pi})-\frac{1}{n}\sen(-n{\pi})

=\frac{1}{n}sen(n{\pi})+\frac{1}{n}sen(n{\pi})

=\frac{2}{n}sen(n{\pi}) Sabemos que el sen{\pi}=0 no importando el valor que pueda tener n

=\frac{2}{n}(0)= 0 podemos concluir con (1,cosnx)= 0

2.- Tenemos que hacer cuando (cosnx,cosmx) donde n≠m vale menciona que no nos interesa cuando n=m porque eso sería la norma

(cosnx,cosmx)=\int_{-\pi}^{\pi}cos(nx)cos(mx)\;dx por una identidad trigonométrica podemos escribirlo como
=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}cos(n-m)x+cos(n+m)x\;dx

=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{n-m}sen(n-m)x+\frac{1}{n+m}sen(n+m)x\right]_{-\pi}^{\pi}

=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{n-m}sen(n-m){\pi}+\frac{1}{n+m}sen(n+m){\pi}\right]+\left[\frac{1}{n-m}sen(n-m){\pi}+\frac{1}{n+m}sen(n+m){\pi}\right]

como ya sabemos el sen{(\pi)}=0 entonces en todo los senos se hacen cero por lo cual tenemos =\frac{1}{2}(0)= 0 entonces podemos concluir con (cosnx,cosmx)= 0
ya que probamos para todos podemos decir que el conjunto {1,cosx,cos2x,cos3x,...} es Ortogonal.

Ejemplo#2

Encontrar las normas de las funciones del conjunto \left\{1,\cos x,\cos2x,\cos3x,...\right\} con intervalo [-π,π], en este caso nos interesa cuando n=n en los cuales tenemos (1,1) y (cosnx,cosnx)
\left \| 1 \right \|^2=\int_{-\pi}^{\pi}dx= 2{\pi}

\left\|1 \right\| =\sqrt{2{\pi}}

(cosnx,cosnx)  =\left\|cosnx\right\|^2  =\int_{-\pi}^{\pi}cos^2nx\;dx

=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2nx\;dx =\left[\frac{1}{2}x+\frac{1}{4n}sen2nx\right]_{-\pi}^{\pi}

=\frac{1}{2}{\pi}+\frac{1}{4n}sen2n{\pi}+\frac{1}{2}{\pi}+\frac{1}{4n}sen2n{\pi}
sabemos que el sen\pi = 0 entonces nos queda =\frac{1}{2}{\pi}+\frac{1}{2}{\pi}   ={\pi}
por lo tanto podemos concluir \left\|cosnx\right\|^2 = {\pi}
\left\|cosnx\right\| = \sqrt{\pi}

Ejemplo 3

Demuestre que las funciones son ortogonales:

 f_{1}_{(x)}=x^3 y  f_{2}_{(x)}=x^2+1 en el intervalo [-1,1]

(x^3,x^2+1) = \int_{-1}^{1}x^3(x^2+1)dx

\int_{-1}^{1}x^5+x^3dx = 0
Por lo tanto sabemos que las funciones son ortogonales.

Ejemplo 4

Demuestre que las funciones son ortogonales:

 f_{1}_{(x)}=e^x y  f_{2}_{(x)}=sin(x) en el intervalo \left[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right]

(e^x,sin(x)) = \int_{0}^{\pi}(e^x)(sin(x)) dx

 = \frac{e^xsin(x)}{2} - \frac{e^xcos(x)}{2} Valuado en  \left[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right] = 0

Por lo tanto sabemos que las funciones son ortogonales.

Ejemplo 5

Demuestre que las funciones son ortogonales:

 f_{1}_{(x)}=cos(x) y  f_{2}_{(x)}=sin^2(x) en el intervalo [0,\pi]

(cos(x),sin^2(x)) = \int_{0}^{\pi}cos(x)sin^2(x)dx

 = \int_{0}^{\pi}\frac{sin^3(x)}{3}dx = 0

Dado que la respuesta es 0 sabemos que son ortogonales.

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