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Identidades trigonometricas

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Identidades Trigonometricas

En matemáticas, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones). En nuestros tiempos de avances tecnológicos es necesario y casi prioritario el uso de cálculos y funciones que a pesar que fueron creadas hace mucho tiempo siempre van a ser información y material de vanguardia en el moderno mundo de hoy.

Estas identidades, son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.

Identidades Pitagoricas

  • sen^{2}\;\theta+\cos^{2}\theta=1
  • 1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta
  • 1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta

Identidades de cociente

  • \cot\theta=\frac{\cos\theta}{sen\;\theta}
  • \tan\theta=\frac{sen\;\theta}{\cos\theta}

Identidades Reciprocas

  • \csc\theta=\frac{1}{sen\theta}
  • \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}
  • \cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}

Formulas de Negativos

  • sen(-\theta)=-sen\theta
  • cos(-\theta)=cos\theta
  • tan(-\theta)=-tan\theta
  • cot(-\theta)=-cot\theta
  • sec(-\theta)=sec\theta
  • csc(-\theta)=-csc\theta


Formulas de Cofunciones

  • sen(\frac{\pi}{2}-\theta)=cos\theta
  • cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=sen\theta
  • tan(\frac{\pi}{2}-\theta)=cot\theta
  • cot(\frac{\pi}{2}-\theta)=tan\theta
  • sec(\frac{\pi}{2}-\theta)=csc\theta
  • csc(\frac{\pi}{2}-\theta)=sec\theta


Formulas de Angulo Doble

  • sen2\theta=2sen\theta cos\theta
  • cos2\theta=cos^{2}\theta - sen^{2}\theta
  • cos2\theta=1 - 2sen^{2}\theta
  • cos2\theta=2cos^{2}\theta - 1
  • tan2\theta=\frac{ 2tan\theta       }{    1- tan\theta^{2}   }

Formulas de Adición

  • sen(x+y)= sen(x)cos(y)+ cos(x)sen(y)
  • cos(x+y)= cos(x)cos(y)-sen(x)sen(y)
  • tan(x+y)=\frac{tan(x)+tan(y)}{1-tan(x)tan(y)}


Formulas de Resta

  • sen(x-y)=sen(x)cos(y)-cos(x)sen(y)
  • cos(x-y)=cos(x)cos(y)-sen(x)sen(y)
  • tan(x-y)=\frac{tan(x)-tan(y)}{1+tan(x)tan(y)}

Ejemplos

Ejemplo #1

Verifique la identidad $$\sec \alpha - \cos \alpha = sen \; \alpha \tan \alpha$$

Solución del ejercicios #1

El lado izquierdo se debe transformar en el derecho para verificar la identidad:

$$\begin{align*} \sec \alpha - \cos \alpha &= \frac{1}{\cos \alpha}-\cos \alpha&{\color{DarkRed} {identidad \; reciproca}} \\ &=\frac{1-\cos^2 \alpha}{\cos \alpha}&{\color{DarkRed} {sumar\; expresiones}} \\ &= \frac{sen^2 \; \alpha}{\cos \alpha}&{\color{DarkRed} {sen^2 \; \alpha + \cos^2 \alpha =1}}\\ &= sen\; \alpha \left ( \frac{sen \; \alpha}{\cos \alpha} \right )&{\color{DarkRed} {expresión\; equivalente}}\\ &= sen \; \alpha \tan \alpha&{\color{DarkRed} {identidad \;tangente}} \end{align*}$$

Ejemplo #2

Verifique la identidad trigonometrica $$\frac{\cos x}{1-sen \; x}=\frac{1+sen \; x}{\cos x}$$

Solución del ejercicios #2

$$\begin{align*} \frac{\cos x}{1-sen \; x}&=\frac{\cos x}{1-sen \; x} \cdot \frac{1+sen \; x}{1+sen \; x}&{\color{DarkRed} {multiplicamos\;por\;(1+sen \; x) \;el\; numerador\; y\; denominador}}\\ &= \frac{\cos x (1+sen \; x)}{1-sen^2 \; x}&{\color{DarkRed} {propiedades\; de\; cocientes}}\\ &= \frac{\cos x (a+sen \; x)}{\cos^2 x}&{\color{DarkRed} {sen^2 \; x + \cos^2 x =1}}\\ &= \frac{1+sen \; x}{\cos x}&{\color{DarkRed} {cancelar\; \cos x}} \end{align*}$$

Ejemplo #3

Verifique la identidad trigonometrica $$\sec \theta = sen \; \theta \; (\tan \theta + \cot \theta)$$

Como la expresión $sen \; \theta \; (\tan \theta + \cot \theta)$ es mas larga, vamos a transformar esta en $\sec \theta$

Solución del ejercicios #3

$$\begin{align*} sen \; \theta \; (\tan \theta + \cot \theta) &= sen \; \theta \; \left (\frac{sen \; \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{sen \; \theta} \right )&{\color{DarkRed} {identidad\;tangente\;y\;cotangente}}\\ &= sen \; \theta \; \left ( \frac{sen^2 \; \theta + \cos^2 \theta}{\cos \theta sen \; \theta } \right )&{\color{DarkRed} {sumar\;fracciones}}\\ &= sen \; \theta \; \left ( \frac{1}{\cos \theta \, sen \; \theta } \right )&{\color{DarkRed} {identidad\; Pitagórica}}\\ &= \frac{1}{\cos \theta}&{\color{DarkRed} {cancelar\;sen\;\theta}}\\ &= \sec \theta&{\color{DarkRed} {identidad\;recíproca}} \end{align*}$$

Ejemplo #4

Verifique la identidad $$(\tan \theta - \sec \theta)^2=\frac{1-sen\;\theta}{1+sen\;\theta}$$

Solución del ejercicios #4

Vamos a demostrar esta identidad verificando que ambos lados se transforman en la misma expresión. Primero trabajaremos solo el lado izquierdo.

$$\begin{align*} (\tan \theta - \sec \theta)^2&=\tan^2 \theta - 2 \tan \theta \sec \theta + \sec^2 \theta&[1]\\ &=\left ( \frac{sen \; \theta}{\cos \theta} \right )^2-2\left (\frac{sen \; \theta}{\cos \theta} \right )\left ( \frac{1}{\cos \theta} \right )+\left ( \frac{1}{\cos \theta} \right )^2&[2]\\ &=\frac{sen^2 \; \theta}{\cos^2 \theta}-2\frac{sen \; \theta}{\cos^2 \theta}+\frac{1}{\cos^2 \theta}&[3]\\ &=\frac{sen^2\;\theta-2sen\;\theta+1}{\cos^2 \theta}&[4] \end{align*}$$

Ahora desarrollamos el lado derecho,

$$\begin{align*} \frac{1-sen\;\theta}{1+sen\;\theta}&=\frac{1-sen\;\theta}{1+sen\;\theta}\cdot\frac{1-sen\;\theta}{1-sen\;\theta}&[5]\\ &=\frac{1-2sen\;\theta+sen^2\;\theta}{1-sen^2\;\theta}&[6]\\ &=\frac{1-2sen\;\theta+sen^2\;\theta}{\cos^2 \theta}&[7] \end{align*}$$

Ahora podemos ver que $[4]$ y $[7]$ son iguales entonces se verifica la identidad.

Ejemplo #5

Verifique la identidad trigonometrica $$sen \; \theta \cos \theta = \frac{1}{\tan \theta + \cot \theta}$$

Solución del ejercicios #5

Demostraremos que el lado derecho de la identidad es equivalente al izquierdo.

$$\begin{align*} \frac{1}{\tan \theta + \cot \theta}&=\frac{1}{\left ( \frac {sen\;\theta}{\cos \theta} \right)+\left ( \frac{\cos \theta}{sen \; \theta} \right )}\\ &=\frac{1}{\frac{sen^2\;\theta+\cos^2 \theta}{sen\;\theta\cos \theta}}\\ &=\frac{sen\;\theta\cos \theta}{sen^2\;\theta+\cos^2 \theta}\\ &=sen\;\theta\cos \theta \end{align*}$$

Sugerencias para verificar identidades

  1. Simplifique el lado más complicado de la ecuación.
  2. Encuentre el mínimo común denominador para la suma o diferencia de fracciones.
  3. Si las dos técnicas anteriores fallan, exprese todas las funciones trigonométricas en términos de senos y cosenos y luego trate de simplificar.




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