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Integración de variables en t

De por WikiMatematica.org

Ecuaciones Dinámicas

\underline{{q}'}(t)= A \underline{q}(t) + B \underline{y}(t) => EDO de primer orden

solución:

\underline{q}(t)= \underline{q}_{T}(t) + \underline{q}_{E}


Homogenea: \underline{q}_{T}(t)

Particular: \underline{q}_{E}



Cálculo de \underline{q}_{T}(t)  (\underline{y}(t)= 0)

\underline{{q}'}(t)= A \underline{q}(t)

proponemos:

\underline{{q}}_{T}= \underline{C}e^{pt}

\underline{{q}'}_{T}= P\underline{C}e^{pt}

P\underline{C}e^{pt} = A\underline{C}e^{pt}

P\underline{C}e^{pt} - A\underline{C}e^{pt} = 0

\left [ PI - A \right ]\underline{C}e^{pt}= 0


Para que esta igualdad se cumpla  \underline{C}e^{pt} debe ser distinto de 0

por lo tanto:

\left [ PI - A \right ]= 0

ahora aplicamos el determinante y obtenemos la ecuación secular:

\textit{det}\left [ PI - A \right ]=0

P_{i} son eigen vectores de matriz \left [ PI - A \right ]


Ahora calcularemos los eigenvectores (vectores propios) para el sistema:


\left [ PI - A \right ] \underline{C} = \underline{0}

EJEMPLO

Objetivo \mapsto integrar las variables de estado para el sistema dado por:

\underline{q^{\circ}}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -2 & -3 \end{bmatrix} \underline{q}(t)+\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} \underline{y}(t)


\underline{x}(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0\end{bmatrix} \underline{q}(t)


Tal que: y(t) = t,\, t\geq 0


Calculamos los eigenvalores (valores propios):


\left [ PI - A \right ] = \begin{bmatrix} P & 0\\ 0 & P \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -2 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} P & -1\\ 2 & P+3 \end{bmatrix}


det\left | \begin{bmatrix} P & -1\\ 2 & P+3 \end{bmatrix} \right | = P (P+3) + 2 = 0


(P+1)(P+2) = 0


Obtenemos los eigenvalores:


P_{1}=-1\; \; \; \wedge \; \; \; P_{2}=-2


Para cada eigenvalor encontramos el eigenvector correspondiente:


\mathit{\underline{P_{1}=-1}}


\left [ PI - A \right ] = \begin{bmatrix} P & -1\\ 2 & P+3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & -1\\ 2 & 2 \end{bmatrix}


Por lo que \left [ PI - A \right ] \underline{C} = \underline{0} queda como:


\begin{bmatrix} -1 & -1\\ 2 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} C_{11}\\ C_{21} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}


Formamos nuestro set de ecuaciones:


Ecuación 1 \;\Rightarrow\;\;\;-C_{11}-C_{21}=0

Ecuación 2 \;\Rightarrow\;\;\;2C_{11}+2C_{21}=0


De la ecuación 1 obtenemos:


C_{21}=-C_{11}


Por lo que nuestro eigenvector para P_{1}=-1 queda como:


\underline{C_{1}}=\begin{bmatrix} C_{11}\\ -C_{11} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}C_{11}


Para:


P_{2} = -2 \\\\\begin{bmatrix} -2 & -1\\ 2 & 1 \end{bmatrix} *\begin{bmatrix} C_{12}\\ C_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} \\\\\\ -2C_{12} - C_{22} = 0\\\\ 2C_{12} + C_{22} = 0\\\\ C_{22}=-2C_{12}; C_{12}\epsilon \Re\\ \\\underline{C}_{2}= \begin{bmatrix} C_{12}\\ -2C_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix}C_{12} \\\\\\\underline{q}_{T}(t)= \underline{C_{1}}e^{p_{1}t} + \underline{C_{2}}e^{p_{2}t} \\\\\\\underline{q}_{T}(t) = \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}C_{11}e^{-t} + \begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix}C_{12}e^{-2t}\\\\

Solución Estacionaria:


\\\\\\y(t) = t; t \geq 0 \\\\\underline{q}_{E}(t) = \begin{bmatrix} A_{1}t + A_{2}\\ B_{1}t + B_{2} \end{bmatrix} \\\\\dot{q}(t) = A_{\underline{q}}+B\underline{y} \\\\\dot{\underline{q}}_{E}(t) = \begin{bmatrix} A_{1}\\ B_{1} \end{bmatrix}\\\\

Sustituimos:


\\\\\begin{bmatrix} A_{1}\\ B_{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -2 & -3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A_{1}t + A_{2}\\ B_{1}t + A_{2} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}t\\\\


\begin{bmatrix} A_{1}\\ B_{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_{1}+B_{2}\\ -2A_{1} t-2A_{2}-3B_{1}t-3B_{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\ t \end{bmatrix}


\begin{bmatrix} A_{1}\\ B_{1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} B_{1}t+B_{2}\\ -2A_{1}t-2A_{2}-3B_{1}t-3B_{2}+t \end{bmatrix}


Obtenemos las respectivas ecuaciones:


Ecuación 1 \Rightarrow \; \; \; A_{1}=B_{1}t+B_{2}

Ecuación 2 \Rightarrow \; \; \; B_{1}=-2A_{1}t-2A_{2}-3B_{1}t-3B_{2}+t

De 1:

\\ B_{1} = 0 \\ A_{1} = B_{2} \rightarrow B_{2} = \frac{1}{2} \\

De 2:

\\ 0 = -2A_{1} + 1 \rightarrow A_{1} = \frac{1}{2} \\ 0 = -2A_{2} -3B_{2} \rightarrow A_{2} = -\frac{3}{4} \\ q_{E}(t)= \begin{bmatrix} \frac{1}{2}t-\frac{3}{4}\\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} \\\\q_{T}(t) = \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}C_{11}e^{-t}+\begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix}C_{12}e^{-2t}



por lo tanto:

\underline{q}(t)= \begin{bmatrix}q_{1}(t) \\q_{2}(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}C_{11}e^{-t} + \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}C_{12}e^{-2t} + \begin{bmatrix} \frac{1}{2}t - \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}

Del resultado anterior podemos obtener:

q_{1}(t)= C_{11}e^{-t} + C_{12}e^{-2t} + \frac{1}{2}t - \frac{3}{4}

q_{2}(t)=- C_{11}e^{-t} - 2C_{12}e^{-2t} + \frac{1}{2}

x(t)= C_{11}e^{-t} + C_{12}e^{-2t} + \frac{1}{2}t - \frac{3}{4}

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