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Integración por Sustitución

De por WikiMatematica.org


http://www.youtube.com/playlist?list=PL91BD1338F0E99025

Contenido

Método de integración por sustitución

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación. Vale la pena resaltar que este método se utiliza cuando no se mira a simple vista su primitiva directa.

Si U=g(x) es una función derivable cuyo alcance es un intervalo I y f es contínua en I en tal caso:

 \int f(g(x)) g'(x) dx= \int f(U) dU


Se puede definir este método en cuatro pasos importantes:

  1. Identificar la fución a sustituir, es decir Identificar "u" (Usualmente se cometen mas errores en este paso).
  2. Determinar el diferencial de "u" ("du").
  3. Reescribir el integral ya sustituido.
  4. Integrar.

Consejo

Intente elegir u como alguna función en el integrando cuya diferencial también se presente (excepto para un factor constante). Si no es posible, escoja u como alguna parte complicada del integrando (tal vez la función interna de una función compuesta). Encontrar la sustitución correcta conlleva algo de arte. No es raro que la conjetura sea errónea; si su primera suposición no funciona, intente con otra.


Notas

  • La dificultad del "Método De Integración Por Sustitución" consiste en identificar la función que sera sustituida, para esto lo que se intenta es encontrar la función que al derivar nos de el diferencial de la integral. Siendo de esta manera podremos sustituir la integral completa. Esto no significa que siempre la función al derivar de el diferencial, también sera necesario dependiendo de las funciones tener ciertos despejes para encontrar el diferencial y poder sustituir la integral en su totalidad.
  • Primitiva: En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.

Procedimiento práctico

Supongamos que la integral a resolver es:

 \int^3_{-2} x \cos (2x^2+3) dx

En la integral reemplazamos \ 2x^2+3 con (u):

 \int^3_{-2} x \cos (u) dx  (1)

Ahora necesitamos sustituir también \ dx para que la integral quede sólo en función de \ u:

Tenemos que \ 2x^2+3=u por tanto derivando se obtiene \ 4x  dx=du

Se despeja \ dx=\frac{du}{4x} y se agrega donde corresponde en (1):

 \int^3_{-2} x \cos (u) \frac{du}{4x}

Simplificando:

 \int^3_{-2}  \cos (u) \frac{du}{4}

Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el sinusoide|seno.

Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar los límites de integración. Sustituimos x por el límite de integración y obtenemos uno nuevo.

En este caso, como se hizo \ u=2x^2+3  :

u_1=2(-2)^2 + 3 = 11 \,\! (límite inferior)

u_2=2(3)^2 + 3 = 21  \,\! (límite superior)

Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:

 \frac{1}{4} \int^{21}_{11}  \cos (u) du =  \frac{1}{4} (\sin(21) - \sin(11))

Facilitacion de metodo:

 \int  \2*cos (x^2) \frac{du}{4}

Para poder identificar que una integral se puede solucionar con este metodo, lo mas sencillo de hacer es ver si es una funcion compuesta, un ejemplo de una funcion compuesta es 2*cos (x^2), sabiendo que la funcion interna de la compuesta siempre va a ser "u". Una vez identificado la funcion interna se procede a derivarse para poder saber si se puede llevar a cabo la sustitucion.

Ejemplo # 1

Encuentre la primitiva de la función T(x)=x\sin(x^2).

En este caso esta función no tiene ninguna primitiva inmediata ya que no esta en nuestra tabla de reglas básicas de integración. Ahora si ponemos atención a la forma de la función podemos ver que se ve que hay una composición de funciones, las funciones que parecen esta compuestas son F(x)=\sin x y G(x)=x^2 entonces esto nos puede llevar a pensar que podemos encontrar la primitiva usando le técnica de sustitución.

  • Hagamos la sustitución de u=G(x)=x^2 tomamos siempre a como u a la función que esta dentro de la composición.
  • si u=G(x)=x^2 entonces du=G'(x)dx=2x\;dx
  • como tenemos que sustituir xdx y tenemos que du=2x\;dx multiplicamos esta ultima toda por \frac {1} {2} y ahora tenemos \frac {1}{2} du = x dx

Aplicamos la sustitución,
\int x \sin (x^2)\;dx=\int \sin(u)\frac {1}{2}du
\int \frac {1}{2} \sin (u) \;du= \frac{1}{2}(-\cos(u))+C
=\frac{-1}{2}cos(u)+C=\frac{-1}{2}cos(x^2)+C

\therefore la primitiva de \int x \sin x^2\;dx =\frac{-1}{2}cos(x^2)+C

Ejemplo # 2

Encontrar

  • \int \sec ^4 (x/2)dx


Reescribiendo:


=\int \sec ^2 (x/2)dx \sec ^2 (x/2)dx

=\int (1 + \tan ^2(x/2))\sec ^2(x/2)dx



Haciendo u = \tan (x/2) y du = \sec^2 (x/2)dx



Tenemos entonces que: \int (1 + u^2)du y al integrar obtenemos: = \frac{1}{3} u^3 + C



Sustituyendo para u, concluimos que:

\int \sec ^4 (x/2)dx= \frac{1}{3} (\tan (x/2))^3 + C


Ejemplo # 3

Encontrar:

  • \int \cos x\ln (\sin x)dx



http://wikimatematica.org/index.php?title=Sustitución&action=edit Haciendo u = \sin x y du = \cos x dx


Obtenemos: \int \ln u du =  u \ln u - u + C

y sustituyendo para u :


= \sin xln(\sin x) - \sin x + C

Cambio de variables

Con un cambio de variable, re expresamos por completo la integral en términos de u y du. Aunque este método requiere más pasos explícitos que reconocimiento de modelos que vimos antes, no es menos cierto que sirve para resolver integrando más complicados. El cambio de variable hace uso de la notación de Leibniz para los diferenciales. es decir, si u=G(x) entonces du=G'(x)dx. Para ilustrar mejor el método usaremos un ejemplo.

=

Ejemplo # 3

  • \int \sqrt[]{2^{}x+1} dx

u = 2x+1


du = 2dx

igualamos du con dx:

\frac{1}{2} du = dx

Sustituimos y obtenemos:


 = \int \sqrt[]{u}\frac{1}{2}u


 = \frac{1}{2}\int \sqrt{u}du


 = \frac{1}{2}\int u^{1/2}du

Integramos:


 = \frac{1}{2}\left [ \frac{2}{3}u^{3/2} \right ]+c


 = \frac{1}{3}u^{3/2}+c

sustituimos u:

 = \int \sqrt{2x+1}dx=\frac{1}{3}\left ( 2x+ \right1 )^{1/3}+c

Ejemplo # 4

  • \int \frac{x^3}{\sqrt{1-2x^2}}dx


 = \frac{-1}{4} \int x^2 (1-2x^2)^\frac{-1}{2} (-4x dx)


Si tomamos :

u= 1-2x^2

Entonces su duserá:


du=-4xdx

y

 x^2=\frac{1-u}{2}

Al hacer la sustitución quedará :


 =  \frac{-1}{4} \int \frac{1-u}{2} u^\frac{-1}{2}du



 = \frac{-1}{8} \int u^\frac{-1}{2} -u^\frac{1}{2}du


 = \frac{-1}{8}(2u^\frac{1}{2}-\frac{2}{3}u^\frac{1}{2}+ C)


 = \frac{-1}{4}u^\frac{1}{2} + \frac{1}{12}u^\frac{3}{2}+C


Obteniendo:


 = \frac{-1}{4}(1-2x^2)^\frac{1}{2} + \frac{1}{12}(1-2x^2)^\frac{3}{2}+C

Ejemplo # 5

  • \int \frac{2x+1}{x^2+x+1}dx


Si tomamos :


u= x^2+x+1


Entonces su du será:


du= 2x+1 dx


Al hacer la sustitución quedará :


 = \int \frac{du}{u}


 =  ln (u) + C


Obteniendo:

 = ln(x^2+ x + 1) + C

Ejemplo # 6

  • \int \sec xdx

Para encontrar la primitiva multiplicamos por un uno este uno es:


= \frac{secx + tanx}{secx +tanx}

Entonces la primitiva nos queda de la siguiente forma.


 = \int secx * \frac{secx + tanx}{secx + tanx}


 = \int \frac{sec^2x + secxtanx}{secx+tanx}dx

 u=secx + tanx

 du=secxtanx+sec^2xdx


Sustituimos.

 = \int \frac{1}{u}du

Obtenemos la primitiva, que sería:

 = lnu+c

Entonces:

 = ln(secx + tanx) + C


Ejemplo 7

  • \int\frac{sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\;dx

u=\sqrt{x}

du=\frac{1}{2\sqrt{x}}\;dx

2du=\frac{1}{\sqrt{x}}\;dx

\int sin u\left ( 2du\right)=2\int sin u\left (du\right)=2\left(-cos u\right+C)

  • -2cos\sqrt{x}+C


Ejemplo # 8

  • \int\frac{tan^{-1}x}{1+x^{2}}\;dx

u=tan^{-1}x

du=\frac{dx}{1+x^2}

\int u\;du=\frac{u^2}{2}+C

  • \frac{(tan^{-1}x)^{2}{}}{2}+C

Ejemplo 9

  • \int sinx*cosx\;dx

u= sinx

du= cosxdx

\int u\;du= \frac{1}{2} u^2+c

  • \frac{1}{2} sin^2x+c

Ejemplo 10

  • \int sin^2 3x\cos 3x\;dx

u= 3x

du= 3dx

\frac{1}{3}du= dx

\frac{1}{3}\int sin^2 u\cos u\;du


u= sin u

du= cos u\;du


\frac{1}{3}\int u^2\;du = \frac{1}{3}\;(\frac{1}{3}u^3)+c


\frac{1}{9}u^3+c


  • \frac{1}{9}sin^3\;3x+c

Ejemplo 11

  • \int e^x(1+e^x)^{10}\;dx

u= 1+e^x

du= e^x\;dx

\int u^{10}\;du

=\frac{u^{11}}{11}

=\frac{(1+e^x)^{11}}{11}+C

Ejemplo 12

\int \frac{(lnx)^2}{x}\;dx

u= lnx

du= \frac{1}{x}\;dx

\int u^2\;du


=\frac{(u)^3}{3}


=\frac{(lnx)^3}{3}+C

Ejemplo 13

\int \frac{1}{2x-1}\;dx

u= 2x-1

du= 2dx

\frac{1}{2}du=dx


\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\;du

=\frac{1}{2}lnu+C

=\frac{1}{2}ln(2x-1)+C

EJEMPLO 14

Calcular: \int sen \Pi t dt

Entonces, tomamos U, como;

u = \Pi t, entonces; du= \Pi dt, y; dt = \frac{1}{\Pi}du

Entonces;

\int sen\Pi tdt=>

\int sen u \left ( \frac{1}{\Pi}du \right )=>

\frac{1}{\Pi}(-cos u)+C =>

Nuestro resultado final sería; -\frac{1}{\Pi}cos\Pi t+ C y no olvidemos colocar la constante "C"

EJEMPLO 15

Calcular:

\int cos\Theta sen^6\Theta d\Theta

Entonces, tomamos U, como;

u=sen\Theta , entonces; du = cos\Theta d\Theta

Entonces;

\int cos\Theta sen^6\Theta d\Theta

\int u^6du=> \frac{1}{7}u^7+C=>

Nuestro resultado; \frac{1}{7}sen^7\Theta +C



EJEMPLO 16

Calcular:

\int \frac{dx}{xLnx}

Entonces, tomamos U, como;

u=Lnx, entonces; du= \frac{dx}{x}

\int \frac{dx}{xLnx}=>

\int \frac{du}{u}=>

Ln\left | u \right |+C=>

Nuestro resultado; Ln\left | Lnx \right |+C


Ejemplo # 17

Encontrar:

  • \int \frac{xdx}{x^2+1}



Haciendo u = \ x^2+1 y du = \2x dx entonces 1/2du = \x dx


Obtenemos: \int \frac{1}{u}* \frac{1}{2}*du>\ = \frac{1}{2}* \int \frac{1}{u}*du =

y sustituyendo para u :


= \frac{1}{2}*{Lnx^2+1} + C


Ejemplo # 18

\int\ {2x}\sqrt{1+x^2}\; dx

u = \1+x^2

du = \2x \; dx

\int\sqrt{u}\;du

=\frac {2}{3}(u)^\frac{3}{2}+C

=\frac {2}{3}(x^2+1)^\frac{3}{2}+C

Ejemplo # 19

\int {x^3}cos(x^4+2)\; dx

u = x^4+2

du = 4x^3 \; dx

\frac {1}{4}\;du = x^3 \; dx

\int cos  (u)*\frac {1}{4}\;du

=\frac {1}{4}\int cos (u)\;du

=\frac {1}{4}sin (u)+ C

=\frac {1}{4}sin (x^4+2)+ C

Ejemplo 20

\int \frac{\left ( lnx \right )^2}{x}dx

al tener esta integral podemos reescribirla asi:

\int \left ( lnx \right )^2 +\frac{1}{x}dx

entonces podemos empezar a integrar y tomamos como u a lnx y lo derivamos y nos quedara asi:

u= lnx

du= \frac{1}{x}dx

tenemos el diferencial entonces podemos proceder a sustituir datos en la integral y nos quedaria asi:

\int u^2 du

ya podemos integra u ya que tiene integral inmediata y nos quedaria asi:

\frac{1}{3}u^3

ya al sustituir el valor de u en la respuesta nos quedarias asi la respueta final:

\int \frac{\left ( lnx \right )^2}{x}=\frac{1}{3}\left ( lnx \right )^3 + C

--Alfredotoledo 10:10 1 nov 2010 (CST)

Ejemplo 21

\int e^{tanx}sec^2xdx

al tomar como u= tanx ya que se encuentra su diferencial que es sec^2x derivamos tanx:

u= tanx

du= sec^2xdx

sustituimos los valores en la integral y nos quedarias asi:

\int e^u du

integramos e y sustituimos el valor de u y las respuesta nos qedaria asi

\int e^{tanx}sec^2xdx= e^{tanx}+ C --Alfredotoledo 15:12 1 nov 2010 (CST)

Ejemplo # 22

Calcular la integral de:

\int tan^2\Theta sec^2\Theta d\Theta

Identificamos u:

u = tan\Theta

Calculamos diferencial de u:

du = sec^2\Theta d\Theta

Sustituimos:

\int u^2du

Integramos:

= \frac{1}{3}u^3

Obtenemos la integral sustituyendo nuevamente u:

\int tan^2\Theta sec^2\Theta d\Theta = \frac{1}{3}tan^3\Theta + C



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