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Integración por partes

De por WikiMatematica.org


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En este articulo encontrar muchas integrales resueltos por el método de integración por partes. Algunas integrales son definidas y otras son integrales indefinidas. Todos estos problemas están resueltos paso a paso.

Toda regla de derivación tiene una regla de integración correspondiente. La regla que corresponde a la regla del producto para derivación se llama regla para Integración por partes.

Si revisamos el tema de diferenciales podemos ver que el diferencial del producto entre dos funciones es,

d(uv)=udv+vdu.

Una forma equivalente es,

udv=d(uv)-vdu

Al integrar ambos lados obtenemos una ecuación muy útil para encontrar primitivas,

\int u\;dv=uv -\int v\;du

Esta es la ecuación de la integración por partes.


Una forma fácil para recordar la ecuación de integración por partes, es mediante la siguiente frase, tomando en cuenta únicamente la primera letra de cada palabra.

"Solo Un Día Vi, Un Valiente Soldado, Vestido De Uniforme" \int u \; dv=uv-\int v\;du

Nota

  • El objetivo de usar la integración por partes es obtener una integral más simple que aquella con la que se inició.

Contenido

Estrategia para derivar por partes

a) Tomar como u la función que al derivarla se simplifica. También ayuda seguir un orden de prelación de escogencia para u:

1. Función Inversa 2. Función Logarítmica 3. Función Algebraica 4. Función Trigonométrica 5. Función Exponencial.

b) Si las 2 funciones tienen el mismo grado de complejidad, al ser derivadas tomar como dv la función que al integrarla se simplifica.

c) Notar que lo que se desea integrar es un producto entre dos funciones.

D) ojo: una forma facil de poder encontrar quien es U y qn es dv es que para u se busca el mas facil de derivar y para dv el resto. Aplica para muchas integrales que se resuelven por partes. e) Una integral por parte se puede identificar como ciclica de una manera muy sencilla, si se ve una exponencial con una trigonometrica especificamente seno o coseno esa integral es ciclica.

Ejemplo #1

Encuentre la primitiva de

  • \int x \cos x \; dx


Hacemos u=x y dv=\cos x \; dx. Entonces u, v, du y dv son,

u=x dv=\cos x\;dx
du=dx v=\sin x

Usando la ecuación de integración por partes,

\int u \; dv=uv-\int v\;du
\int x \cos x \; dx = x\sin x - \int \sin x \; dx

Este nuevo integral es fácil de evaluar.

\int x \cos x \; dx=x \sin x + \cos x + C

Ejemplo # 2

Encontrar:

  • \int (x^2 -1)e^{x} dx


Hacemos u=x^2-1 y dv=e^xdx


Entonces u, v, du y dv son:


u = x^2 - 1 du = 2xdx
dv = e^x dx v = e^x


Ahora tenemos:

\int (x^2 -1)e^{x} dx = (x^2 - 1)e^x - \int e^x2xdx
= x^2e^x - e^x - 2\int e^x xdx

Y nuevamente hacemos:


u = x du = dx
dv = e^x dx v = e^x


Para obtener:

= x^2 e^x - e^x - 2[xe^x - \int e^x dx]
= x^2 e^x - e^x - 2[xe^x - e^x] + C
= x^2 e^x - e^x - 2xe^x + 2e^x + C
= x^2 e^x - 2xe^x + e^x + C
= e^x(x^2 - 2x + 1) + C

Ejemplo #3

Encontrar:

  •   \int e^{2x} \sin(3x)dx


Haciendo:

u = \sin (3x)

dv = e^{2x}dx

du = 3\cos3xdx

v = \frac{1}{2} e^{2x}dx


y sabiendo que uv - \int vdu


Obtenemos:

= \frac{1}{2} e^{2x} \sin(3x) - \int \frac{1}{2}e^{2x}3\cos(3x)dx

= \frac{1}{2} e^{2x} \sin(3x) - \frac{3}{2}\int e^{2x}\cos(3x)dx



Nuevamente hacemos para:


u = \cos (3x)


dv = e^{2x}dx


du =  -3\sin(3x)dx


v = \frac{1}{2} e^{2x}


Sustituir y operar:


= \frac{1}{2}e^{2x}\sin(3x)- 3/2  [\frac{1}{2} e^{2x}\cos(3x)+ \int \frac{1}{2}e^{2x} 3\sin(3x)dx]


= \frac{1}{2}e^{2x}\sin(3x)- 3/2  [\frac{1}{2} e^{2x}\cos(3x)+ \frac{3}{2}\int e^{2x} \sin(3x)dx]


= \frac{1}{2}e^{2x}\sin(3x)- \frac{3}{4}e^{2x}\cos(3x) + \frac{9}{4}\int e^{2x}\sin(3x)dx

= \int e^{2x} \sin(3x)dx = = \frac{1}{2}e^{2x}\sin(3x)- \frac{3}{4}e^{2x}\cos(3x) + \frac{9}{4}\int e^{2x}\sin(3x)dx

= \frac{13}{14}\int e^{2x}\sin(3x)dx =  \frac{1}{2}e^{2x}\sin(3x) 3 \frac{3}{4}e^{2x}\cos(3x)

=\int e^{2x} \sin(3x)dx=  4/13 [\frac{1}{2}e^{2x}\SIN(3x)- \frac{3}{4}e^{2x}\cos(3x)]


=\frac{2}{13}e^{2x}\sin(3x) - \frac{3}{13}e^{2x}\cos(3x)


= e^{2x} [2\sin(3x) - 3\cos(3x)]+ C

Ejemplo #4

Encontrar:

  • \int {x} \sin(x)dx

Haciendo:

u =  (x)

dv = sin (x)dx

du = dx

v = -\cos (x)

y sabiendo que uv - \int vdu


Obtenemos:

= \ x\cos(x) + \int \cos(x)dx

= -x\cos(x) + \sen(x)]+ C

Ejemplo #5

Encontrar:

  •  \int x e^{x}dx

Haciendo:

u =  (x)

dv = e^{x}dx

du = dx

v = e^{x}

y sabiendo que uv - \int vdu

Obtenemos:

xe^{x}-\int e^{x}dx = \int xe^{x}dx

\int xe^{x}dx = xe^{x}-e^{x} + c

Ejemplo #6

  •  \int  x^{2} ln(x) dx

Hacemos:

 u = ln(x)

 du = \frac{1}{x}  dx

 v = \frac{1}{3} x^{3}

 dv = x^{2}

Usando la ecuación de integración por partes:

 \int u dv = uv - \int v du
Tenemos que:
 \int x^{2} ln(x) dx = ln(x) \frac{1}{3} x^{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} dx

 = \frac {1}{3} x^{3} ln(x) - \int \frac{1}{3} x^{2} dx

 = \frac {1}{3} x^{3} ln(x) - \frac{1}{9} x^{3} + C

Ejemplo # 7

Encontrar:

  •  \int ln(x) dx

Hacemos:

 u = ln(x)

 du = \frac{1}{x} dx

 v = x

 dv = dx


Entonces, usando la ecuación de integración por partes uv - \int  vdu tenemos:

 = x ln(x) - \int x \frac {1}{x} dx

 = x ln (x) - \int dx


 = x ln (x) - x + c

Ejemplo #8

Encontrar:

  •  \int x^{2}sin(x) dx

Hacemos :  u = x^{2}

 du = 2 x dx

 v = -cos(x)

 dv = sin(x) dx

Tenemos:

 = -cos(x^{2}) - \int  -cos(x) 2x dx

 = -x^{2}cos(x) + 2 \int x cox(x) dx

Usamos integración por partes nuevamente para  \int x cos (x) dx  :

 u = x

 du = dx

 v = sin(x)

 dv = cos(x)

 = -x^{2}cos(x) + 2[x sin(x) - \int sin(x) dx ]

 = -x^{2}cos(x) + 2 x sin(x) + 2 cos(x) + c


Ejemplo # 9

Encontrar:

  •  \int x^{2}e^{x}dx

Hacemos:

 u = x^{2}

 du = 2x dx

 v = e^{x}

 dv = e^{x} dx

Entonces:

 \int x^{2} e^{x} dx = x^{2} e^{x} - 2 \int x e^{x} dx

 x^{2} e^{x} lo guardamos un momento mientras encontramos la respuesta de nuestra nueva integral

para nuestra nueva integral - 2 \int x e^{x} dx volvemos a integrar por partes:

 u = x

 du = dx

 v = e^{x}

 dv = e ^{x}dx

 -2\int x e^{x} dx = -2(x e^{x} - \int e^{x} dx)

 = -2xe^{x} + 2e^{x} + C

por lo tanto, nuestra respuesta sería:

 = x^2e^x-2xe^{x} + 2e^{x} + C

Ejemplo # 10

Encontrar:

  •  \int e^{x} sin(x)dx

Hacemos:

 u = e^{x}

 du = e^{x} dx

 v = - cos(x)

 dv = sin(x) dx

Entonces:

 \int e^{x} sin(x)dx = - e^{x} cos(x) + \int e^{x} cos(x) dx

A simple vista no parece haber mejorado , pero volvamos a integrar por partes otra vez.

Hacemos:

 u = e^{x}

 du = e^{x} dx

 v =  sin(x)

 dv = cos(x) dx

Entonces:

 \int e^{x} cos(x)dx = e^{x} sin(x) - \int e^{x} sin(x)dx

Al sustituir esto en el primer resultado quedaria de la siguiente forma :

 \int e^{x} sin(x)dx = - e^{x} cos(x) + e^{x} sin(x) - \int e^{x} sin(x)dx

Se pueden dar cuenta que el último termino de la ecuación puede pasar a sumar al otro lado de la ecuación.

Entonces :

 2 \int e^{x} sin(x)dx = e^{x} (sin (x) - cos(x) ) + C

Resultado de esto es :

 \int e^{x} sin(x)dx = 1/2 e^{x}(sin(x) - cos(x)) + K

Metodo por tabulacion

Ejemplo # 11

  • \int x^{3}senxdx

tomamos a u como  x^3
tomamos a dv como  Senx
Tenemos que derivar u hasta que se haga 0 para poder ya escribir la primitiva de lo que nos piden.

u

dv

x^3

Senx

3x^2

-Cosx

6x

-Senx

6

Cosx

0

Senx

multiplicamos u y dv en diagonal, y empezamos a color los signos +,-,+,-,+,...... sucesivamente hata que lleguemos al 0.

Entonces la primitiva nos quedira.

 -x^3Cosx+3x^2Senx+6xCosx-6Senx+C



Ejemplo # 12

  • \int x^{2}e^{x}dx

tomamos a u como  x^2
tomamos a dv como e^x
Tenemos que derivar u hasta que se haga 0 para poder ya escribir la primitiva de lo que nos piden.

u

dv

x^2

e^x

2x

e^x

2

e^x

0

e^x

No olvidar hacer el respectivo cambio de signos.
Resultado:

 x^2e^x-2xe^x+2e^x+C


--Antonio Moran 19:36 31 jul 2009 (CST)tonymoran \int x^{2}Cosxdx
tomamos a u como  x^2
tomamos a dv como Cosx
Tenemos que derivar u hasta que se haga 0 para poder ya escribir la primitiva de lo que nos piden.

u

dv

x^2

Cosx

2x

Senx

2

-Cosx

0

-Senx

No olvidar el cambio de signos

Resultado:

 x^2Senx+2xCosx-2Senx


Ejemplo # 13

  • \int (lnx)^{2}dx
u=(lnx)^2

dv=dx

du=2ln*\frac{1}{x}dx

v=x

(lnx)^{2}x-\int 2lnxdx

(lnx)^2 -2\int lnxdx

respuesta..

(lnx)^2x -2(xlnx-x)+C


Ejemplo # 14

  • \int sin(ln x) dx

escogemos u y dv de la siguiente forma:

u = sin(ln x)  ; dv = dx

entonces obtenemos

du = \frac {1}{x} cos(ln x)dx  ; v = x

utilizando nuestra ecuacion para la integración por partes sustituimos los valores

\int sin(ln x) dx = xsin(lnx) - \int cos(ln x) dx

podemos notar que de nuevo tenemos otra vez una integral por partes y la resolvemos de la siguiente manera

u = cos(ln x)  ; dv = dx

du = - \frac {1}{x} sin(ln x)dx  ; v = x

sustituimos siguiendo nuestra ecuación y tenemos

\int sin(ln x) dx = xsin(lnx) - xcos(lnx) - \int sin(ln x) dx

de los dos lados de la ecuación aparece \int sin(ln x) dx entonces el del lado derecho de la ecuación lo pasamos sumando al otro lado y obtenemos

2 \int sin(ln x) dx = xsin(lnx) - xcos(lnx)

ahora ya solo despejamos y obtenemos la integral

\int sin(ln x) dx = \frac{1}{2}[xsin(lnx) - xcos(lnx)]+c

Ejemplo # 15

  • \int p^5\ln pdp


u = \ln p


du = \frac{1}{p}dp


dv = p^5dp


dv = p^5dp

Entonces:

uv - \int vdu


 = \ln p (\frac{1}{6}p^6)- \int  \frac{1}{6}p^6 \frac{1}{p}dp


= \frac{1}{6}p^6\ln p - \frac{1}{36} p^36 + C



Ejemplo 16

Demostración integral ciclico que contiene exponencial y coseno Ciclico I

Ejemplo 17

  • \int t^3 e^t dt

  u = t^3    , dv = e^t dt

 du = 3t^2 dt,  v = e^t

Usando la formula de integracion por partes

t^3 e^t - 3\int e^t t^2 dt

Todavia queda una integral la cual se puede volver a usar la formula de integracion por partes para que quede mas sencilla.

  u = t^2    , dv = e^t dt

 du = 2t dt,  v = e^t

t^3 e^t - 3(t^2 e^t - 2\int e^t t dt)

La integral que nos queda no es muy obvia todavia podemos volver a utilizar la formula de integracion por partes.

  u = t , dv = e^t dt

 du = dt,  v = e^t

t^3 e^t -3(t^2 e^t - 2(t e^t - \int e^t dt))

Nos queda de una forma sencilla que podemos integrar sin ningun problema.

t^3 e^t - 3(t^2 e^t - 2(t e^t - e^t)) + C

Expandimos.

 t^3 e^t - 3t^2 e^t + 6t e^t - 6e^t + C

Simplificamos.

e^t (t (t - 3)t + 6) - 6) + C

EJEMPLO 18

Evaluar la integral:

\int_{0}^{\Pi}tSen3tdt

Entonces; hacemos las respectivas sustituciones;

u=t, dv=Sen3tdt

du=dt, v= -\frac{1}{3}Cos 3t

Entonces;

\int_{0}^{\Pi}tSen3tdt=>

\left [ -\frac{1}{3}tCos3t \right ]_{0}^{\Pi}\textrm{}+\frac{1}{3}\int_{0}^{\Pi}Cos3tdt=>

\left ( \frac{1}{3}\Pi - 0 \right )+\frac{1}{9}\left [ Sen3t \right ]_{0}^{\Pi}\textrm{}

Nuestro resultado; \Pi /3

EJEMPLO 19

Evaluar la integral:

\int_{1}^{2}\frac{Lnx}{x^2}dx

Entonces; hacemos las respectivas sustituciones;

u=Lnx, dv=x^{-2}

du=\frac{1}{x}dx, v=-x^{-1} "help" -->6

\int_{1}^{2}\frac{Lnx}{x^2}dx=>

\left [ -\frac{Lnx}{x} \right ]_{1}^{2}\textrm{}+\int_{1}^{2}x^{-2}dx =>

-\frac{1}{2}Ln2+xLn1+\left [ -\frac{1}{x} \right ]_{1}^{2}\textrm{}=>

-\frac{1}{2}Ln2 + 0 -\frac{1}{2}+1

Nuestro resultado; \frac{1}{2}-\frac{1}{2}Ln2

EJEMPLO 20

Evaluar la integral:

\int_{0}^{1}\frac{y}{e^{2y}}dy

Entonces, hacemos nuevamente nuestras respectivas sustituciones;

u=y, dv=\frac{dy}{e^{2y}}=> e^{-2y}dy

dy=dy, v= -\frac{1}{2}e^{-2y}


\int_{0}^{1}\frac{y}{e^{2y}}dy=>

\left [ -\frac{1}{2}y\cdot e^{-2y} \right ]_{0}^{1}\textrm{}+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}e^{-2y}dy=>

\left ( -\frac{1}{2}e^{-2}+0 \right )-\frac{1}{4}\left [ e^{-2y} \right ]_{0}^{1}\textrm{}=>

-\frac{1}{2}e^{-2}-\frac{1}{4}e^{-2}+\frac{1}{4}

Nuestro resultado; \frac{1}{4}-\frac{3}{4}e^{-2}

EJEMPLO 21

Evalúe la integral:

\int_{0}^{1}\frac{r^3}{\sqrt{4+r^2}}dr

Hacemos nuestras sustituciones correspondientes;

u=r^2, dv = \frac{r}{\sqrt{4+r^2}}dr

du=2rdr, v= \sqrt{4+r^2}  ---> "help" 6

\int_{0}^{1}\frac{r^3}{\sqrt{4+r^2}}dr=>

\left [ r^2\sqrt{4+r^2} \right ]_{0}^{1}\textrm{}-2\int_{0}^{1}r\sqrt{4+r^2}dr=>

\sqrt{5}-\frac{2}{3}\left [ \left ( 4+r^2 \right )^{\frac{3}{2}} \right ]_{0}^{1}\textrm{}=>

=\sqrt{5}-\frac{2}{3}(5)^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{3}(8)=>

\sqrt{5}\left ( 1-\frac{10}{3} \right )+\frac{16}{3}

Nuestro resultado; \frac{16}{3}-\frac{7}{3}\sqrt{5}


Ejemplo 22

\int x^{2}sen\pi xdx

luego definimos cual seria nuestra U y dv

u=x^2 y dv= sen\pi x

luego derivamos u:

u= x^2dx

du= 2x

E integramos dv por metodo de sustitucion:

\int sen\pi xdx

u=\pi x

du=\pi dx

\frac{1}{\pi }}du=dx

\frac{1}{\pi } \int sen udu

\frac{1}{\pi }cos\pi x

entonces por la ecuacion de integracion por partes nos quedaria:


x^2 (\frac{1}{\pi }cos \pi x ) + \int \frac{1}{\pi }cos\pi 2xdx

como podemos ver la integral que nos queda no tiene integracion inmediata entonces integramos otra ves por partes siguiendo el mismo metodo de arriba tomando como u= 2x y dv= \frac{1}{\pi }cos \pi


luego derivamos u:

u= 2x

du= 2dx

E integramos dv por metodo de sustitucion:

\frac{1}{\pi } \int cos\pi xdx

u=\pi x

du=\pi dx

\frac{1}{\pi }}du=dx

\frac{1}{\pi } \int cos udu

-\frac{1}{\pi }sen\pi x

sustituyendo otra ves con la ecuacion de integracion por partes nos quedaria otra ves asi:

\frac{1}{\pi }x^2 cos\pi + \frac{2}{\pi ^2}xsen\pi x - \int \frac{2}{\pi ^2}sen\pi x dx

como podemos ver aun no nos ya el integral:

\int \frac{1}{\pi ^2}sen\pi xdx

ya lo podemos integrar por medio de sustitucion y la respuesta nos qedaria asi

 \int x^{2}sen\pi xdx= \frac{1}{\pi }x^2 cos\pi + \frac{2}{\pi ^2}xsen\pi x + \frac{2}{\pi ^2}cos\pi x +C --Alfredotoledo 23:47 31 oct 2010 (CST)

Ejemplo 23

\int x^2 cos mxdx

primero escojemos cual va a ser nuestra u y dv para poder empezar, entonces quedarían asi:

u=x^2 y dv=cosmxdx

derivamos u y nos quedaría asi:

u=2xdx

y utilizamos el metodo de sustitución para poder integrar dv y nos quedaría asi:

\int cosmxdx

u=mx

du=mdx

\frac{1}{m}du=dx

y al sustituir nos quedaría asi:

\frac{1}{m}\int cosudu

y al integrar nos quedaría asi:

\frac{1}{m}senmx

al sustituir en la ecuación de integración por partes nos quedará todo asi:

x^2\left ( \frac{1}{m}senmx \right )-\frac{1}{m}\int senmx2xdx

podemos ver que aun el integral \int senmx2xdx no tiene integración inmediata entonces utilizaremos otra vez el metodo de integración por partes.

entonces volvemos a escojer un u y dv

u= 2x

du= 2dx

e integramos nuestro dv:

dv=senmxdx

al integrar nos quedaría asi :

-\frac{1}{m}cosmx

al sustituir otra ves en la ecuación de integración por partes nos quedaría:

x^2\left ( \frac{1}{m}senmx \right )-\frac{1}{m}\left [ 2x\left ( -\frac{1}{m}cosmx \right )-\frac{2}{m}\int cosmxdx \right ]

como podemos ver ya el termino \int cosmxdx ya se puede integrar por medio de sustitución la respuesta nos quedaría asi:

\frac{x^2}{m}senmx+\frac{2x}{m^2}cosmx+\frac{2}{m^3}senmx+c

--Alfredotoledo 01:24 1 nov 2010 (CST)

Ejemplo # 24

Determinar la Integral de:

\int e^x cosxdx

Sean:

u = cosx
du = -senxdx
v = e^x
dv = e^xdx

Al integrar por partes se obtiene:

\int e^x cosxdx = e^x cosx + \int e^x senxdx

Como la integral que se obtuvo aun no es inmediata, volvemos a utilizar una segunda vez la integración por partes, esta vez con u = senx , du = cosxdx , v = e^x y dv = e^xdx obteniendo:

\int e^x cosxdx = e^x cosx + e^x senx - \int e^x cosxdx

Como de ambos lados aparece \int e^x cosxdx podemos agrupar términos semejantes quedando de la siguiente manera:

2 \int e^x cosxdx = e^x cosx + e^x senx

Despejando y simplificando la expresión obtenemos la integral:

\int e^x cosxdx = \frac{1}{2}e^x (cosx + senx) + C


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