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Integral de Riemann, por WikiMatematica.org
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Integral de Riemann

De por WikiMatematica.org

La integral de Riemann es una operación sobre una función continua y limitada en un intervalo [a; b], donde a y b son llamados los extremos de la integración. La operación consiste en hallar el límite de la suma de productos entre el valor de la función en un punto xi* y el ancho Δx del subintervalo conteniendo al punto.

   \lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i^*)\Delta x_{i}

Donde n es la cantidad de subintervalos.

Normalmente se nota como:

   \int_a^b f(x)dx 

El símbolo \int , es una "S" deformada. En el caso en que la función f tenga varias variables, el dx especifica la variable de integración.

la integral de Riemann es una forma simple de definir la integral de una función sobre un intervalo como el área bajo la curva de la función.

Sea f una función con valores reales definida sobre el intervalo [a, b], tal que para todo x, f(x)≥0 (es decir, tal que f es positiva). Sea S = Sf={(x, y)|0≤y≤f(x)} la región del plano delimitada por la curva correspondiente a la función f, el eje de las abscisas y las rectas verticales de ecuaciones x=a y x=b. Estamos interesados en medir el área del dominio S, si es que se puede medir.



Para obtener una aproximación al área encerrada debajo de una curva, se la puede dividir en rectángulos como indica la figura.


El área de cada rectángulo, es el producto de la función en un punto, por el ancho del intervalo.


Al aumentar el número de rectángulos se obtiene una mejor aproximación.



La idea fundamental de la teoría de la integración de Riemann es la de utilizar aproximaciones del área del dominio S. Determinaremos un área aproximada de la que estamos seguros de que son inferiores al área del dominio S, y buscaremos un área aproximada que sepamos que es mayor al área de S. Si estas aproximaciones pueden hacerse de forma que la diferencia entre ambas puede hacerse arbitrariamente pequeña, entonces podemos obtener el área del dominio S. Por lo tanto, el límite del área para infinitos rectángulos es el área comprendida debajo de la curva.

Contenido

Ejemplo 1

Dada la funcion f(x)=2x^2-3x encontrar el area en los intervalos:

a) \int_{0}^{6}f(x)dx


b)\int_{-1}^{0}f(x)dx

inciso a:

\int_{0}^{6}f(x)dx


= \int_{0}^{6}2x^2-3xdx


= \int_{0}^{6}2x^2dx - \int_{0}^{6}3xdx


=\left \frac{2}{3}x^3  \right |_{0}^{6} - \left \frac{3}{2}x^2  \right |_{0}^{6}


= 144 - 54


= 90 u^2

inciso b:


\int_{-1}^{0}f(x)dx


= \int_{-1}^{0}2x^2-3xdx


= \int_{-1}^{0}2x^2dx - \int_{-1}^{0}3xdx


=\left \frac{2}{3}x^3  \right |_{-1}^{0} - \left \frac{3}{2}x^2  \right |_{-1}^{0}


=\frac{2}{3} +\frac{3}{2}


= -\frac{13}{6} u^2

Ejemplo 2

Calcular el Area bajo la siguiente parabola y=x^2 en el intervalo 0\leq x\leq 1


f(x)=x^2


 =\int_{}^{}f(x)dx = F'(x)=\frac{1}{3}x^3


A=\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}x^3


= \frac{1}{3}(1)-\frac{1}{3}(0)


 = \frac{1}{3}


\therefore \frac{1}{3}u^2 es el area de la parabola en el intervalo 0\leq x\leq 1

Ejemplo 3

Hallar el area comprendida entre la curva y_1 = 2x^2+2x-1, la recta y_2 = 4x +3 , la recta y=0 y la recta x=0

Solucion:

1. Es calcular el area de integracion para realizar eso se igualan las funciones y se encuentra la interseccion que tengas las dos graficas.

y_1 = y_2


2x^2+2x-1 = 4x +3


 2x^2 -2x -4 = 0


x^2 -x -2 =0


x = \frac{1+\sqrt{1+8}}{2} =2

y

x =   \frac{1-\sqrt{1+8}}{2} = -1

\therefore el intervalo de integracion es 0\leq x\leq 2


2. Calcular el area.


\int_{0}^{2}4x+3dx - \int_{0}^{2}2x^2+2x-1dx


= \left 2x^2+3x  \right |_{0}^{2}- \left \frac{2}{3}x^3+x^2-x  \right |_{0}^{2}


= 14 - \frac{22}{3}


= \frac{20}{3}


\therefore El area es = \frac{20}{3}u^2

Ejemplo 4

demostrar que \int_{a}^{b}xdx=\frac{b^2-a^2}{2}


\int_{a}^{b}xdx\int=\lim_{n\rightarrow oo}\sum_{i=1}^{n}\left (x_{i}  \right )\Delta x


donde \Delta x=\frac{b-a}{n} y x_{i}=\left ( \frac{b-a}{n} \right )i


\sum_{i=1}^{n}\left ( \frac{\left ( b-a \right )i}{n} \right )\Delta x


\lim_{n\rightarrow  oo}\left [ \sum_{i=1}^{n}\frac{bi}{n}\Delta x-\sum_{i=1}^{n}\frac{ai}{n}\Delta x \right]


\lim_{n\to oo}\left [\frac{b}{n}\sum_{i=1}^{n}i  -\frac{a}{n}\sum_{i=1}^{n}i\right ]\Delta x


\lim_{n\to oo}\left [ \frac{b}{n}\left ( \frac{n\left ( n+1 \right )}{2} \right )-\frac{a}{n}\left ( \frac{n\left ( n+1 \right )}{2} \right ) \right ]\Delta x


\lim_{n\to \infty }\left [ \frac{b}{n}\left ( n^2\left ( 1+\frac{1}{n} \right )-\frac{a}{n}\left ( n^2\left (1+\left ( \frac{1}{n} \right ) \right ) \right ]\Delta x


\lim_{n\to \infty }\left [ \frac{b}{n}\left ( \frac{b-a}{n}\left ( \frac{n2\left ( 1+\frac{1}{n} \right )}{2} \right ) \right )-\frac{a}{n}\left ( \frac{b-a}{n} \right )\left ( \frac{n2\left ( 1+\frac{1}{n} \right )}{2} \right ) \right ]


\lim_{n\to \infty}\left [ \frac{b^2-ab}{n^2}\left ( n^2(1+1/n) \right )/2-\frac{ab+a^2}{n^2}\left ( n^2(1+1/n))/2) \right ) \right ]


\lim_{n\to \infty}\left [ \frac{b^2-ab}{\not n^2}\left (\not n^2(1+\not 1/\not n) \right )/2-\frac{ab+a^2}{\not n^2}\left ( \not \frac{b^2-ab+ab-a^2}{2}


\frac{b^2-ab+ab-a^2}{2}


\frac{b^2-\not a\not b+\not a\not b-a^2}{2}


\therefore \int_{a}^{b}xdx=\frac{b^2-a^2}{2}

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