.

Integrales Impropias de Primer Género

De por WikiMatematica.org


En la definicion de una integral definida, se exige que el intervalo de integracion \left [ a,b \right ] fuese finito.Por su parte el teorema fundamental del calculo con el cual se calcula la integral, requiere que f\left ( x \right ) sea continua en el intervalo \left [ a,b \right ].

Llamaremos una integral impropia a cualquier integral que no cumpla una o ambas cosas citadas anteriormente, eso significa que el intervalo de integracion sea infinito o que la funcion tenga varias discontinuidades en el intervalo a integrar.

Contenido

Definición

a) Si \int_{a}^{t}f(x)dx existe para todo   t \geq  a , entonces

  • \int_{a}^{\infty }f(x)dx = \lim_{t\rightarrow \infty }\int_{a}^{t}f(x)dx>



b) Si \int_{t}^{b}f(x)dx existe para todo   t \leq  b , entonces

  • \int_{-\infty }^{b}f(x)dx = \lim_{t\rightarrow -\infty }\int_{t}^{b}f(x)dx


Nota: Las Integrales Impropias

  • \int_{a}^{\infty }f(x)dx y \int_{-\infty }^{b}f(x)dx


Se llaman \mathbf{convergentes} si hay tal limite y \mathbf{divergentes} en caso contrario.


c) Si \int_{a}^{\infty }f(x)dx y \int_{-\infty}^{a }f(x)dx son convergentes entonces:


  • \int_{-\infty }^{\infty }f(x)dx  = \int_{-\infty }^{a }f(x)dx + \int_{a }^{\infty }f(x)dx

--KenRi 21:04 28 feb 2010 (CST)KenRi


Ejemplos

1. \int_{1}^{\infty } \frac{1}{x^2}dx


2. \int_{-1}^{1 } \frac{1}{x}dx


En el caso 1 encontramos que el intervalo de integracion es infinito .


En el caso 2 el intervalo cuando x tome el valor de 0 existe un polo eso significa que la funcion \frac{1}{x} no esta definida.

Definición de integrales impropias con limite de integracion infinito

Para solucionar las integrales con limite de integracion infinito se aplica:


1. Si f\left ( x \right ) es continua en el intervalo \left [ a, \infty \right ) :


\int_{a}^{\infty  }f\left ( x \right )dx = \lim_{b \mapsto \infty} \int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx


2.Si f\left ( x \right ) es continua en el intervalo \left ( -\infty , c \right ] :


\int_{-\infty}^{c  }f\left ( x \right )dx = \lim_{b \mapsto -\infty} \int_{b}^{c}f\left ( x \right )dx


3.Si f\left ( x \right ) es continua en el intervalo \left ( -\infty ,\infty  \right ) :


\int_{-\infty}^{\infty  }f\left ( x \right )dx = \int_{-\infty}^{a}f\left ( x \right )dx   +  \int_{a}^{\infty}f\left ( x \right )dx


Ejemplo # 1

Resolver la integral:


  • \int_{1}^{\infty } \frac{1}{x^2}dx

Sabemos que ésta f\left ( x \right ) es contínua en el intervalo

\left [ 1, \infty \right ) entonces se puede escribir como :


\lim_{b \mapsto \infty} \int_{1}^{b}\frac{1}{x^2}dx


que es lo mismo que:


\lim_{b \mapsto \infty}\left -\frac{1}{x}\right]_{1}^{b}


Obteniendo:

 1 - \lim_{b \mapsto \infty} \frac{1}{b}


y el

\lim_{b \mapsto \infty} \frac{1}{b} = 0


entonces:


\int_{1}^{\infty } \frac{1}{x^2}dx =  1

Ejemplo # 2

  • \int_{-\infty }^{0}xe^{x}dx


=  \lim_{t\rightarrow -\infty }\int_{t}^{0}xe^{x}dx


 = \lim_{t \mapsto -\infty}\left  xe^{x} - e^{x} \right]_{t}^{0}


 = \lim_{t\rightarrow -\infty} -1-te^{t}+e^{t}


=  -1- \lim_{t\rightarrow -\infty} te^{t}+0


 A = \lim_{t\rightarrow -\infty} te^{t};-\infty * 0


Entonces: \lim_{t\rightarrow -\infty}  \frac{1}{-e^-t} = 0


A = 0


Ejemplo.jpg"Si la función f al ser integrada de "a" a "c" tiene una discontinuidad en "c", especialmente en la forma de una asíntota vertical, o si c = ∞, entonces la integral

   \int_a^c f(x)\,dx\,

Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:

   \lim_{b\to c^-}\int_a^b f(x)\,dx.\,

En algunos casos, la integral de "a" a "c" ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre "a" y "c" son ambas infinitas, sin embargo el límite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites.

La integral

   \int_0^\infty\frac{dx}{1+x^2}

puede interpretarse como

   \lim_{b\rightarrow\infty}\int_0^b\frac{dx}{1+x^2},

pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞). Por otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no sea como forma de calcular su valor.

En contraste al caso anterior,

   \int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx

no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que

   \int_0^\infty\left|\frac{\sin(x)}{x}\right|\,dx=\infty.

Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por

   \int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_0^b\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}.

Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta extendida de números reales en los cuales debemos utilizar límites.

Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una integral definida, utilizando un infinito como límite de integración. Esto no hace más que "ocultar" el debido proceso de calcular los límites de la integral. Utilizando la más avanzada integral de Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces evitar tal operación. Pero si sólo se desea evaluar el límite para obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda. El concepto de integral de Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento teórico de la transformada de Fourier que hace uso extensivo de integrales sobre el total de la recta real.

Límites infinitos de integración [editar]

Las integrales impropias más básicas son integrales como:

   \int_0^\infty {dx \over x^2+1}.

Como dijimos anteriormente éstas no necesitan ser definidas como una integral impropia, ya que pueden ser construidas como una integral de Lebesgue. Sin embargo, para propósitos de computar esta integral, es más conveniente tratarla como un integral impropia, i.e., evaluarla cuando el límite superior de integración es finito y entonces coger el límite ya que este límite se acerca a ∞. La primitiva de la función que está siendo integrada es arctan x. La integral es

   \lim_{b\rightarrow\infty}\int_0^b\frac{dx}{1+x^2}=\lim_{b\rightarrow\infty}\arctan b-\arctan 0=\pi/2-0=\pi/2.

Asíntotas verticales en los límites de integración [editar]

Considera

   \int_0^1 \frac{dx}{x^{2/3}}.

Esta integral involucra una función con una asíntota vertical en x = 0.

Uno puede obtener el valor de esta integral evaluándola desde b a 1, y entonces tomando el límite como b tendiendo a 0. Nótese que la antiderivativa de la anterior función es

   3x1 / 3,

la cual puede ser evaluada por sustitución directa para dar el valor

   3 \cdot (1 - b^{1/3}).

El límite cuando b → 0 es 3 − 0 = 3.

Valores principales de Cauchy [editar]

Considera la diferencia en los valores de dos límites:

   \lim_{a\rightarrow 0+}\left(\int_{-1}^{-a}\frac{dx}{x}+\int_a^1\frac{dx}{x}\right)=0,

    \lim_{a\rightarrow 0+}\left(\int_{-1}^{-a}\frac{dx}{x}+\int_{2a}^1\frac{dx}{x}\right)=-\ln 2.

La primera es el valor principal de Cauchy

   \int_{-1}^1\frac{dx}{x}{\ } \left(\mbox{que}\ \mbox{da}\ -\infty+\infty\right).

Similarmente, tenemos

   \lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^a\frac{2x\,dx}{x^2+1}=0,

pero

   \lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-2a}^a\frac{2x\,dx}{x^2+1}=-\ln 4.

La primera es el valor principal

    \int_{-\infty}^\infty\frac{2x\,dx}{x^2+1}{\ } \left(\mbox{que}\ \mbox{da}\ -\infty+\infty\right).

Todos los límites anteriores son casos de la forma de indeterminación ∞ − ∞.

Carácter y valor de las Integrales Impropias [editar]

Si la integral que nos ocupa es de fácil resolución podemos determinar su carácter mediante el cálculo de la integral impropia. Según el resultado que obtengamos sabremos si es convergente o divergente. Primero clasifiquemos las integrales en 3 tipos:

1-Primera especie

Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos el primer caso de primera especie, con el segundo es equivalente):

Si existe el \lim_{b\rightarrow\infty}\int_a^b f(x)\,dx\, y es finito y en ese caso \int_a^\infty\ f(x)\,dx\,=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_a^b f(x)\,dx\,, entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente si \lim_{b\rightarrow\infty}\int_a^b f(x)\,dx\, es + ó - infinito, y se dice que es una integral oscilante si el limite no existe.

...

2-Segunda Especie [editar]

Son del tipo:\int_a^b f(x)\dx\, y que f(x) no esta definida en el intervalo de integración o en los extremos de integración.

Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos que el punto conflictivo se encuentra en x = a):

Si el \lim_{c\to a}\int_c^b f(x)\,dx\, existe y es finito y en este caso \int_a^b f(x)\,dx\,=\lim_{c\to a}\int_c^b f(x)\,dx\,, entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente en cualquier otro caso.

3-Tercera Especie [editar]

Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los extremos de integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del intervalo de integración.

Este tipo de integrales impropias se pueden dividir en suma de dos integrales: una de primera especie y otra de segunda especie. Por lo tanto deberemos seguir los pasos anteriores para determinar su carácter, y tener en cuenta que para que sea convergente tanto la integral de primera especie como la de segunda especie tienen que ser convergentes, si no, en cualquier otro caso, diverge. Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_impropia" Categoría: Integrales


Ejemplo 3

  • \int_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{1+x^2}dx

=\int_{-\infty }^{0}\frac{1}{1+x^2}dx + \int_{0}^{\infty }\frac{1}{1+x^2}dx

A = \lim_{t\to -\infty }\int_{t }^{0}\frac{1}{1+x^2}dx

B = \lim_{t\to \infty }\int_{0 }^{t}\frac{1}{1+x^2}dx

Resolvemos A:

= \lim_{t\to -\infty } -\tan^{-1}t = \frac{\pi}{2}

A = \frac{\pi}{2}

Resolvemos B:

= \lim_{t\to \infty }\tan^{-1}t = \frac{\pi}{2}

Operamos A y B

\int_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{1+x^2}dx =  \frac{\pi}{2}+ \frac{\pi}{2} =  \pi

Busca mas temas

Loading


Anuncios