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Integrales Impropias de Segundo Género, por WikiMatematica.org
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Integrales Impropias de Segundo Género

De por WikiMatematica.org


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Integrales impropias de segundo Género

Son del tipo: \int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx y q f(x) no está definida en el intervalo de integración o de los extremos de integración.
Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos que el encuentros conflictivo se encuentra en x=a):
si el \lim_{c{a}}\int_{c}^{b}f\left ( x \right )dx existe y es finito en este caso \int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx = \lim_{c{a}}\int_{c}^{b}f\left ( x \right )dx, entonces se dice que la integral es convergente o q la integral converge, se dice que es divergente en cualquier otro caso.

Ejemplo 1


Determine: \int_{2}^{5}\frac{dx}{\sqrt{x-2}}

Solución: Notar que:

La integral dada es impropia debido a que:

 f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}

contiene una asíntota vertical en x=2

Por lo cual se presenta una discontinuidad infinita en el extremo izquierdo [2,5]


Método de solución:

 \int_{2}^{5}\frac{dx}{\sqrt{x-2}}=\lim_{t\to 2^{+}}\int_{t}^{5}\frac{dx}{\sqrt{x-2}}

 = \lim_{t\to 2^{+}}{2 \sqrt{x-2}|}_t^5

 = \lim_{t\to 2^{+}}{2(\sqrt{3}-\sqrt{t-2})}

 = 2 \sqrt{3}

Ejemplo 2


Indique si converge o diverge la siguiente integral: \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sec{x}dx}

Solución: Notar que:

La integral dada es impropia debido a que:

 \lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^{-}}{\sec{x}}=\infty


Método de solución:

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sec{x}dx}=\lim_{t\to (\frac{\pi}{2})^{-}}\int_{0}^{t}{\sec{x} dx}

 = \lim_{t\to (\frac{\pi}{2})^{-}}\ln {|\sec{x}+\tan{x}|]_{0}^{t}}

 = \lim_{t\to (\frac{\pi}{2})^{-}}\ln {(\sec{t}+\tan{t})-\ln{1}}

 = \infty

Por lo cual la expresión diverge.

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