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Integrales Iteradas

De por WikiMatematica.org

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Cálculo de integrales dobles

Recordar que por lo común es difícil evaluar integrales simples directamente de la definición de una integral, pero el teorema fundamental del cálculo provee un método mucho mas fácil. La evaluación de integrales dobles a partir de primeros principios es incluso más difícil. Normalmente, el primer paso en la evaluación de una integral doble consiste en reescribirla como una integral iterada para comprender el proceso. En resumen, la integral doble normalmente se utiliza para encontrar el volumen de un solido encontrando ciertos puntos de intersección para así poder integrarla después.

Dominios Rectangulares

Si queremos computar la doble integral de \[f(x,y)\] sobre el dominio \[D\] donde \[D\] es un rectángulo con \[a\leq x\leq b\] y \[c\leq y\leq d\]. Usando la definición de la integral doble, podríamos estimar la integral:

\[\int \int \underset{D}{}f(x,y)dA\]

con sumas de Riemann. Cortamos el dominio de en pequeños rectángulos. Si elegimos el mismo \[y\underset{i}{}\] para cada rectángulo en la fila \[i\] y el mismo \[x\underset{j}{}\] para cada rectángulo en la columna \[j\], la suma de Riemann para la integral es:

\[\sum \underset{i}{}\underset{j}{}^{}f(x_{j},y_{i})\Delta x\Delta y\]

Para cada fila en \[i\] podemos sumar todas las columnas en \[j\]. Si ignoramos \[\Delta y\] por un momento, la suma de todas las columnas en \[j\] sería:

\[\sum \underset{j}{}f(x_{j},y_{i})\Delta x\]

Si reducimos \[\Delta x\] para que sea cero (y el número de columnas aumentan correspondientemente a infinito), entonces ésta es exactamente la suma de Riemann para la integral de una dimensión, donde integramos \[x\] desde \[a\] hasta \[b\]

\left [ \int_{a}^{b}\;f(x,y)\;dx \right ]


Tenemos un valor distinto de la integral para cada \[y_{i}\] correspondiente a la suma de la fila \[i\]. Si lo multiplicamos por un \[\Delta y\] y sumamos todas las filas de \[i\] (como es necesario para tener toda la sumatoria de ecuaciones de Riemann), obtenemos otra sumatoria de Riemann de una dimensión:

\[\int_{c}^{d}\left ( \int_{a}^{b}(x,y)dx \right )dy\]

Si reducimos \[\Delta y\] para que sea cero (y el número de filas aumentan correspondientemente a infinito), entonces la suma de Riemann se convierte en otra integral de una dimensión, donde integramos \[y\] desde \[c\] hasta \[d\]

\[\int_{c}^{d}\left ( f(x,y)dx \right )dy\]

Este proceso fue equivalente a sumar todos los rectángulos, luego reducir \[\Delta x\] y \[\Delta y\] a cero. De esta manera obtuvimos otra expresión para la integral doble:

\[\int \int \underset{D}{}f(x,y)dA\ = \int_{a}^{b}\left ( \int_{c}^{d}(x,y)dy \right )dx\]

Llamamos a ésta una Integral Iterada, porque simplemente iteramos la integración de una variable, dos veces.

Teorema de Fubini

Si f es continua en el rectángulo R = \left \{ (x,y)\left | a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \right.\left. \right \}, entonces:

\int \int_{R}^{ }f(x,y)dA = \int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)dy dx = \int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x,y)dx dy

En términos generales, esto es cierto si se supone que f está acotada en R, f es discontinua sólo en un numero finito de curvas uniformes y existen integrales iteradas.

Ejemplo # 1

  • Suponer que z = f(x,y) es una función continua no negativa en la región R del plano x ^ y cuyo contorno está formado por los arcos de 2 curvas y = g \underset{1}{}(x) e  y = g \underset{2}{}(x) que se cortan en los puntos K y L indicados en la figura. Se trata de hallar el volumen "V" limitado por ésta superficie.

Figura 63-4.JPG

Sea x = x \underset{0}{} siendo a < x \underset{0}{}< b , un plano que corta al contorno de "R" en los puntos S[x \underset{0}{},g \underset{1}{}(x \underset{1}{})] y T[x \underset{0}{},g \underset{2}{}(x \underset{1}{})], y a la superficie z = f(x,y) según el arco UV a lo largo del cual z = f(x,y). El área de la sección STUV es:

                                          A(x \underset{1}{})= \int_{g \underset{1}{}(x \underset{1}{})}^{g \underset{2}{}(x \underset{1}{})} f(x \underset{1}{},y)dy

Así, pues, el área de las secciones determinantes en el volumen por los planos paralelos al y ^ z son funciones conocidas

                                          A(x)= \int_{g \underset{1}{}(x)}^{g \underset{2}{}(x)} f(x,y)dy

de x, distancia del plano de sección al origen. Según lo dicho el volumen pedido sera,

V = \int_{a}^{b} A(x)dx

 = \int_{a}^{b} [\int_{g \underset{1}{}(x)}^{g \underset{2}{}(x)} f(x,y)dy]dx

1. \int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x}dy dx = \int_{0}^{1}[y]_{x^2}^{x}dx = \int_{0}^{1}(x-x^2)dx = [x^2/2 - x^2/3]_{0}^{1}=1/6

2. \int_{1}^{2}\int_{y}^{3y}(x+y)dx dy = \int_{1}^{2}(x^2/2 + xy)]_{y}^{3y}dy = \int_{1}^{2}6y^2 dy = 2y^3]_{1}^{2}=14



Ejemplo #2

  • Evaluar la integral doble \int \int (x-3y^{2})dA, donde R= \left \{(x,y)\left |  0\leq x \leq2, 1\leq y\leq 2 \right \}.


Según el teorema de Fubini

    \int \int f(x,y)dA = \int_{b}^{a} \int_{d}^{c} f(x,y)dy dx = \int_{d}^{c} \int_{b}^{a} f(x,y)dx dy

\int \int (x-3y^{2})dA = \int_{0}^{2\int_{1}^{2}}(x-3y^{2})dy dx


\int_{0}^{2} \left \lceil xy -y^{3} \right \rceil_{1}^{2}\textrm{dx}


\int_{0}^{2} (x-7)dx= \frac{x^{2}}{2} -7x \left   \right ]_{0}^{2}\textrm{}= 12


Ejemplo #3

Evaluar \int \int_{R} ysen(xy)dA donde R=[1,2] [0,\pi].

\int \int_{R} ysen(xy)dA =  \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{1} ysen(xy)dy dx =  \int_{0}^{\pi} [-cos(2y)+cosy]dy =[-\frac{1}{2}sen2y + seny ]]__0^\pi  =  0 U^{3}

Ysen(xy)22.jpg

Para una funcion F que toma valores positivos y negativos, \int \int_{R}f(x,y)dA es una diferencia de volumenes: V1-V2 donde V1 es el volumen de arriba de la función y el V2 es el de abajo. El echo de que la integral del ejemplo 3 sea 0 significa que estos dos volumenes son iguales.


Ejemplo #4

Evalúe las integrales iteradas:
\int_{0}^{3}\int_{1}^{2}x^{2}ydydx
\int_{1}^{2}\int_{0}^{3}x^{2}ydydx

\int_{0}^{3}\int_{1}^{2}x^{2}ydydx = \frac{27}{2}
\int_{1}^{2}\int_{0}^{3}x^{2}ydydx = \frac{27}{2}

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