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Integrales Trigonométricas

De por WikiMatematica.org


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Contenido

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

En esta sección las identidades trigonométricas nos servirán para integrar ciertas combinaciones de funciones trigonométricas, además nos facilita al calculo de funciones racionales en el cual se nos facilitara mas aplicar dichas identidades. Comenzaremos con las potencias de seno y coseno.


\int sen^{n}x*cos^{m}xdx o \int sec^{n}x*tan^{m}xdx

(En donde al menos uno de los exponentes, n o m es un entero positivo).


Para evaluar la integral trigonometrica $\int sen^{n}x*cos^{m}xdx$

  • En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).
  • La identidad sen^2x + cos^2x = 1 permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.

Tendremos 3 casos:

1. Cuando n es impar

Cuando    n=2k+1 en la integral trigonemetrica $\int sen^{n}x*cos^{m}xdx$, podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad sen^{2}x=1 - cos^{2}x para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:


  \int sen^{2k+1}x*cos^{m}x dx
  \int sen^{2k}x*cos^{m}x*senx dx
  \int (sen^{2}x)^{k}*cos^{m}x*senx dx
  \int (1 - cos^{2}x)^{k}*cos^{m}x*senx dx

Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo  u=cos(x) ,    du= - sen(x)dx . Como en la expresion no tenemos un    - sen(x)dx multiplicamos ambos lados por  *(-1) y nos queda la expresión    -du= sen(x)dx que ya podemos sustituir:

   -\int (1 - u^{2})^{k}*u^{m} du
2. Cuando m es impar

Cuando m=2k+1 en la integral trigonemetrica $\int sen^{n}x*cos^{m}xdx$, podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear cos^{2}x =1 - sen^{2}x para poder expresar los factores restantes en términos del senx:

  \int sen^{n}x*cos^{2k+1}x dx
  \int sen^{n}x*cos^{2k}x*cosx dx
  \int sen^{n}x*(cos^{2}x)^{k}*cosx dx   
  \int sen^{n}x*(1 - sen^{2}x)^{k}*cosx dx

al hacer u=senx y du= cosxdx tendríamos

  \int u^{n}*(1 - u^{2})^{k} du
3. Cuando m y n son pares

Cuando las potencias de la integral trigonemtrica $\int sen^{n}x*cos^{m}xdx$ son pares a la vez n= 2k y m=2p, podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo sen^{2}x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}cos2x -y- cos^{2}x =\frac{1}{2} + \frac{1}{2}cos2x algunas veces nos sera útil utilizar la identidad senx*cosx =\frac{1}{2}sen2x

     \int cos^{2p}x*sen^{2k}x dx
     \int (cos^{2}x)^{p}*(sen^{2}x)^{k} dx

seria igual a:

     \int [\frac{1}{2} + \frac{1}{2}cos2x]^{p}*[\frac{1}{2} - \frac{1}{2}cos2x]^{k} dx

Para evaluar $\int sec^{n}x*tan^{m}xdx$

  • Se puede usar una estrategia similar a la anterior.
Puesto que:
(\frac{d}{dx})tanx = sec^2x, se puede separar un factor sec^2x y convertir la potencia restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la identidad sec^2x = 1 + tan^2x.
O bien, puesto que:
(\frac{d}{dx})secx = secx tanx, se puede separar un factor secx tanx y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.

Tendremos 5 casos:

1. Cuando n es par

n=2k separar un factor de sec^{2}x y utilice sec^{2}x=1 + tan^{2}x para lograr expresar los factores restantes en términos de tanx:

    \int sec^{2k}x*tan^{m}xdx
    \int sec^{2k-2}x*tan^{m}x*sec^{2}xdx 
    \int (sec^{2}x)^{k-1}*tan^{m}x*sec^{2}xdx
    \int [1 + tan^{2}x]^{k-1}*tan^{m}x*sec^{2}xdx

de esta manera podemos hacer u=tanx y du=sec^{2}xdx y el integral quedaría así:

   \int [1 + u^{2}]^{k -1}*u^mdu
2. Cuando m es impar

m=2k+1 apartar un factor de secx tanx y emplear  tan^{2}x = sec^{2}x - 1 para poder expresar los factores que restan en términos de secx:

  \int sec^{n}x*tan^{2k+1}xdx
  \int sec^{n-1}x*tan^{2k}x*secx*tanxdx
  \int sec^{n-1}x*(sec^{2}x - 1)^{k}*secx*tanxdx 

de esta manera podemos hacer u=secx y du= secx*tanxdx y nos queda

       \int u^{n-1}*(u^2-1)^{k}du

3. $\int tan^{2k}xdx$

    \int tan^{2k-2}x*tan^{2}xdx
    \int tan^{2k-2}x*(sec^{2}x - 1)dx
    \int tan^{2k-2}x*sec^{2}xdx - \int tan^{2k-2}xdx

4. $\int sec^{2k+1}xdx$

Al encontrarnos con este caso debemos integrar por partes tal como se muestra en el ejemplo 8.


5. cuando no cabe en 1, 2, 3, 4

Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores deberemos trasladarlo a senx y cosx recordando que:

 secx = \frac{1}{cosx}  y
 
 tanx= \frac{senx}{cosx}


Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar identidades, integración por partes y, ocacionalmente, un poco de inventiva.

  • A veces será necesario poder integrar tanx por medio de la fórmula establecida:
\int tanx dx = ln |secx| + C
  • Se necesitará también la integral indefinida de la secante:
\int secx dx = ln |secx + tanx| + C

Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o como sigue:

Primero se mutiplican numerador y denominador por secx + tanx :
\int secx dx = \int secx \frac{secx + tanx}{secx + tanx}dx
= \int \frac{sec^2x + secx tanx}{secx + tanx}dx
Si se sustituye u = secx + tanx, después du = (secx tanx + sec^2x)dx, también, la integral se convierte en:
 \int (\frac{1}{u})du = ln |u| + C
Así, se tiene:
\int secx dx = ln |secx + tanx| + C


NOTA Para integrales que contienen cosecantes y cotangentes, la estrategia es análoga a la del par secantes-tangentes. Recordar la identidad: csc^{2}x=1 + cot^{2}x



IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES QUE LES SERVIRA DE MUCHA AYUDA

Identidades recíprocas

cscx = \frac{1}{senx}

secx = \frac{1}{cosx}

cotx = \frac{1}{tanx}

tanx = \frac{senx}{cosx}

cotx = \frac{cosx}{senx}


Identidades pitagóricas

sen^2x + cos^2x = 1

tan^2x + 1 = sec^2x

 1 + cot^2x = csc^2x


Identidades de paridad

sen (-x) = -senx

cos (-x) = cosx

tan (-x) = -tanx


Ejemplos

Ejemplo #1

Evaluar

  • \int \cos ^3x \; dx

Solución La simple sustitución u=cos x no va a servir pues du=-sen x dx.

Para integrar potencias del coseno necesitaríamos un factor sen x extra. También una potencia del seno necesitaría un factor \cos  x de más. De modo que se puede separar un factor del coseno y convenir el que queda, es decir, cos^2 x, en una expresión que contenga el seno por medio de la identidad cos^2x+sen^2x=1


cos^3x=cos^2x*cosx= (1-sen^2x)cosx

Es útil contar con el factor adicional, luego se evalúa la integral sustituyendo u=sen x y du= cos x dx , y


\int cos^3x dx = \int cos^2x *cosx dx = \int (1-sen^2 x)cosx dx

=\int (1-u^2) du = u-\frac{1}{3}u^3 +C

= senx-\frac{1}{3}sen^3x + C

En general trataremos de escribir un integrado que contenga potencias de seno y de coseno en una forma que contenga un solo factor de seno ( y lo restante de la expresión en términos de coseno) o bien un solo factor coseno ( y lo demás en términos de seno), la identidad sen^2 +cos^2x=1 nos permite convertir de potencias pares de seno a potencias pares de coseno e inversamente.

Ejemplo #2

Determine

  • \int sen^5xcos^2x dx.

Solución Podríamos convertir cos^2x a 1-sen^2x pero nos quedaríamos con una expresión en términos de sen x sin factor cos x extra. En vez de eso, separamos un solo factor seno y reescribimos el factor sen^4x restante en términos de cos x :


sen^5x cos^4 x=(sen^2x)^2 cos^2x sen x= (1-cos^2x)^2 cos^2xsenx


Sustituyendo u=cosx, , tenemos du=-senx dx luego

\int sen^5xcox^2x dx= \int sen^4 x cos^2x sen xdx

=\int (1-cos^2 x )^2cos^2x senx dx

=\int (1-u^2)^2u^2(-du)= -\int (u^2-2u^4+u^6)du

=-(\frac{u^3}{3})-2\frac{u^5}{5}+\frac{u^7}{7})+C

=-\frac{1}{3}cos^3x+\frac{2}{5}cos^5x-\frac{1}{7}cos^7x+C

En los ejemplos anteriores una potencia impar del seno o el coseno nos permitió separa un factor simple y convertir la potencia complementaria. Si el integrando contiene potencias pares de seno tanto como de coseno esta estrategia falla. En este caso aprovechamos las identidades del ángulo mitad.

sen^2x = \frac{1}{2}(1-cos2x) y cos^2x =\frac{1}{2}(1-cos2x)

Ejemplo #3

Evaluar

  • \int_{0}^{\pi }sen^2 x dx

Solución

Si escribimos sen^2x dx=1-cos^2x , la integral no queda mejor. Pero usando la fórmula del ángulo mitad para sen^2x , tenemos


\int_{0}^{\pi }sen^2x dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi }(1-cos2x)dx =\left [ \frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}sen2x) \right ]_0 ^\pi

=\frac{1}{2}(\pi -\frac{1}{2}sen2\pi )-\frac{1}{2}(0-\frac{1}{2}sen0)=\frac{1}{2}\pi

Observamos que, mentalmente, hicimos la sustitución u=2x al integrar cos 2x.

Ejemplo #4

Determine

  • \int sen^4x dx


Es posible evaluar esta integral con la fórmula de reducción para \int sen^n xdx con el resultado del ejemplo 1, pero otro método es expresar sen^4x = (sen^2 x)^2 y aplicar la fórmula del ángulo mitad;

\int sen^4zdx= \int (sen^2x)^2dx

=\int (\frac{1-cos2x}{2})^2 dx

=\frac{1}{4}\int (1ñ2cos2x+cos^22x)dx

Ya que se representa con cos^2 2x, debemos emplear otra fórmula de mitad de ángulo.

cos^22x= \frac{1}{2}(1+cos4x)

Con esto llegamos a

\int sen^4x dx=\frac{1}{4}\int \left [1-2x+\frac{1}{2}(1+cos4x)  \right ]dx

=\frac{1}{4}\int (\frac{3}{2}-2cos2x+\frac{1}{2}cos 4x)dx

=\frac{1}{4}(\frac{3}{2}x-sen 2x +\frac{1}{8} sen 4x)+C

Como resumen, listamos los lineamientos a seguir al evaluar integrales de la forma \int sen^m cos^nx dx donde m\geq 0 y n\geq 0 son enteros.

Cómo evaluar \int sen^mxcos^nxdx

(a) Si la potencia del coseno es impar (n=2k+1) , aparte un factor de coseno y emplee cos^2x=1 para expresar los factores restantes en términos del seno:

\int sen^mxcos^2^k^+^1x dx=\int sen^mx(cos^2x)^kcosx dx

=\int sen^mx(1-sen^2x)^kcosxdx

A continuación, sustituya u=senx

(b)Si la potencia sel seno es impar (m=2k+1, aparte un factor del seno y use sen^2x=1-cos^2x para expresar los factores restantes en términos del coseno:

\int sen^2^k^+^1xdx=\int (sen^2x)^k(cos^2x)^k cos^nxsenxdx

=\int (1-cos^2x)^kcos^nxsenxdx

Luego, reemplace u=cosx. Advierta que si las potencias de sen y de cos son ambas impares use (a) o (b)

(c)Si las potencias del seno y coseno son pares a la vez, aplicamos las identidades de mitad del ángulo:

sen^2x=\frac{1}{2}(1-cos2x) cos^2x=\frac{1}{2}(1+cos2x)

A veces es útil emplear la identidad

senxcosx=\frac{1}{2}sen2x

Usaremos una estrategia similar para evaluar integrales de la forma \int tan^mxsec^nxdx. Sabiendo que (d/dx) tanx=sec^2x, podemos separar un factor sec^2x y convertir la potencia restante (impar) de secante a una expresión que contiene tangente usando la identidad sec^2x=1+tan^2x. O, ya que (d/dx) secx=secxtanx, podemos separar un factor sec x tan x y convertir la potencia restante(par) de tangente a secante.


Ejemplo #5

Encontrar

  • \int \cos ^{4}2x\sin ^{3}2xdx


= \int \cos ^{4}2x \sin ^{2}2x\sin 2xdx


= \int \cos ^{4}2x \left ( 1-\cos ^{2}2x \right )\sin  2xdx


= \int \cos ^{4}2x \sin  2xdx - \int \cos ^{6}2x\sin2xdx


= -\frac{1}{10}\cos ^{5}2x + \frac{1}{14}\cos ^{7}2x + C


Ejemplo #6

Encuentre:

\int \frac{\cos ^{5}x}{\sqrt{\sin ^{3}x}}dx

Esta integral puede escribirse como:

\int {\cos ^{5}x} {\sin ^{-\frac{3}{2}}x} dx

Y en tal caso realizamos lo siguiente:

\int {\cos ^{4}x} {\sin ^{-\frac{3}{2}}x} \cos x dx
\int (1 - {\sin ^{2}x})^2 {\sin ^{-\frac{3}{2}}x} \cos x dx

Se procede a integrar por el método de sustitución tomando u = \sin x y du = \cos x dx:

\int (1 - {u^{2}})^2 {u ^{-\frac{3}{2}}} du
\int (1 - 2{u^{2}} + {u^{4}})^2 {u ^{-\frac{3}{2}}} du
\int {u ^{-\frac{3}{2}}} - 2{u ^{\frac{1}{2}}} + {u ^{\frac{5}{2}}} du = -2{u ^{-\frac{1}{2}}} -\frac{4}{3}{u ^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{7}{u ^{\frac{7}{2}}} + C

Se sustituye u y obtenemos:

\int \frac{\cos ^{5}x}{\sqrt{\sin ^{3}x}}dx = -2{\sin^{-\frac{1}{2}}x} -\frac{4}{3}{\sin ^{\frac{3}{2}}x} + \frac{2}{7}{\sin ^{\frac{7}{2}}x} + C



Ejercicio #6

\int sen^3x cos^5xdx

\int sen^2x cos^5x senxdx

 \(1- cos^2x) cos^5x senxdx

u=cosx

du= - senxdx

 -\int (1 - u^2)u^5du

 -\int (u^5 - u^7)du

 - (\frac{1}{6}u^6-\frac{1}{8}u^8)du

 - \frac{1}{6} (cos^6x + \frac{1}{8}cos^8x) + C



Ejercicio # 7

\int sen^2\pi x \, \, cos^5\pi x\, \, dx

\int cos^4\pi x\, \, sen^2\pi x\: cos\pi xdx

\int \left ( 1 - sen^2\pi x \right )\: sen^2\pi x\:  cos\pi x\, dx

u= sen\pi x\, \, \, \, \, du= cos\pi xdx

\int (1-u^2)^2\, \, u^2\, \, du

\int \left ( 1\, -\, 2u^2\, +u^4 \right )u^2\, \, du

\int  u^2\, -\, 2u^4\, +u^6 \, \, du

\frac{1}{3}u^3\, -\frac{2}{5}\, u^5+\frac{1}{7}u^7

\int sen^2\pi x \, \, cos^5\pi x\, \, dx=\frac{1}{3}sen^3\pi x\, -\frac{2}{5}\, sen^5\pi x+\frac{1}{7}sen^7\pi x\, +C

Ejercicio (cuando exista coseno y seno)

\int cos (1+sen^2x)dx

\int cosx + cosxsen^2xdx

u=senx

du=cosxdx

\int cosx + \int u^2du

 senx + \frac{1}{3}u^3du

 senx + \frac{1}{3}sen^3x+C


Mas Ejemplos

Mas ejercicios resueltos aqui.

Integrales que contienen secante y tangente

CASO # 1

La secante tiene potencia par

\int sec^2^k^+^2xtan^mdx

  • PASO 1
  • \int sec^2^kxtan^msec^2xdx

  • PASO 2
  • \int (sec^2x)^ktan^mxsec^2xdx

  • PASO 3
  • \int (tan^2x+1)^ktan^mxsec^2xdx

  • PASO 4
  • u=tanx

    du=sec^2xdx


    \int (1+u^2)^ku^mdu

  • PASO 5
  • Resolver


    Ejemplo # 1

    • \int sec^63xtan^33xdx


     = \int sec^43xtan^33xsec^23xdx


     = \int (sec^23x)^2tan^33xsec^23xdx


     = \int (tan^23x+1)^2tan^33xsec^23xdx


    u=tan3x


     = \frac{1}{3}du=sec^23xdx


     = \frac{1}{3}\int (u^2+1)^2u^3du


     = \frac{1}{3}\int \left [ u^4+2u^2+1 \right ]u^3du


     = \frac{1}{3}\left [ \frac{1}{8}u^3+\frac{1}{3}u^6+\frac{1}{4}u^4 \right ]


     =\frac{1}{24}tan^83x+\frac{1}{9}tan^63x+\frac{1}{12}tan^43x+C

    CASO #2

    Potencia de la tangente

    \int sec^m^+^1xtan^2^k^+^1xdx

  • PASO 1
  • \int sec^mxtan^2^kxtanxsecxdx

  • PASO 2
  • \int sec^mx(sec^2x-1)^ktanxsecxdx

  • PASO 3
  • u=secx du=secxtanxdx

    \int u^m(u^2-1)^kdu

  • PASO 4
  • Integrar

    Ejemplo #2

    • \int \frac{tan^3x}{\sqrt{secx}}dx

    = \int tan^3xsec^-\frac{1}{2}xdx


    = \int tan^2xsec^-\frac{1}{2}xtanxdx


    = \int tan^2xsec^-\frac{3}{2}xtanxsecxdx


    = \int \left [ sex^2x-1 \right ]sec^-\frac{3}{2}xtanxsecxdx


    u=secx

    du=secxtanxdx


     = \int (u^2-1)u^-\frac{3}{2}du


     = \int u^-^\frac{1}{2}u^-\frac{3}{2}du


     = \frac{2}{3}u^-\frac{^3}{2}+2u^-\frac{^1}{2}


     = \frac{2}{3}sec^-\frac{^3}{2}x+2sec^-\frac{1}{2}x + C

    CASO #3

  • Si no hay factores de la secante
  • Tangente con potencia par
  • PASO 1
  • \int tan^2^kxdx

  • PASO 2
  • \int tan^2^k^-^2xtan^2xdx

  • PASO 3
  • \int tan^2^k^-^2x(sex^2x-1)dx

  • PASO 4
  • \int tan^2^k^-^2xsec^2x-\int tan^2^k^-^2xdx

    Ejemplo #3

    \int tan^4xdx

    \int tan^2xtan^2xdx

    \int (sec^2x-1)tan^2xdx

    \int sec^2xtan^2x-tan^2xdx

    \int sec^2xtan^2x-\int tan^2xdx

    u=tanx du=sec^2xdx

    \frac{1}{3}tan^3x\int (sec^2x-1)dx

    =\frac{1}{3}tan^3x-tanx+x+C

    Ejercicio (cuando la tangente es impar)

    \int tan^3xdx

    \int tan^2x tanxdx

    \int (sec^2x - 1) tanxdx

    \int tanx sec^2x - \int tanx dx

    u=tanx

    du=sec^2xdx

    \int u du

    \frac{1}{2}u^2- ln (secx)

    \frac{1}{2}tan^2x - ln (secx)+ C


    CASO #4

  • No hay tangente
  • Secante potencia impar
  • Se realiza integral por partes

  • Si aparece una potencia par de tangente con una potencia impar de secante, es útil expresar el integrado completamente en términos de secx. Las potencias de secx podrían requerir integración por partes, como se muestra en el siguiente ejemplo:

    Ejemplo #4

    Encuentre:
    \int sec^3x
    Aquí se integra por partes con:

    u = secx
    du = secx tanx dx
    v = tanx
    dv = sec^2x dx

    En tal caso:
    \int sec^3x = sec x tanx - \int secx tan^2x dx

    = sec x tanx - \int secx (sec^2x - 1) dx
    = sec x tanx - \int sec^3x dx + \int secx dx

    Si se emplea la integral indefinida de la secante y se resuelve para la integral requerida, se obtiene:
    \int sec^3x = \frac{1}{2}(secx tanx + ln |secx + tanx|) + C


    Integrales como la del ejemplo anterior podrían parecer muy especiales, pero ocurren con frecuencia en aplicaciones de integración.

    Integrales de la forma:

    \int cot^mx csc^nx dx

    se pueden determinar mediante métodos similares como resultado de la identidad 1 + cot^2x = csc^2x.


    CASO #5

    Si no es Caso I, II, III, o IV entonces convertir a senos y cosenos

    Otras Sustituciones

    Para evaluar las integrales de la forma:

    • \int sen mx cos nx dx
    • \int sen mx sen nx dx
    • \int cos mx cos nx dx

    Use la identidad correspondiente:

  • senAsenB=\frac{1}{2}\left [ cos(A-B)-cos(A+B) \right ]
  • senAcosB=\frac{1}{2}\left [ sen(A-B)+sen(A+B) \right ]
  • cosAcosB=\frac{1}{2}\left [ cos(A-B)+cos(A+B) \right ]
  • Ejemplo

    \int cos3xsen2xdx

    \int \frac{1}{2}\left [ sen(2x-3x)+sen(2x+3x) \right ]dx\int -\frac{1}{2}senx+\frac{1}{2}sen5xdx

    =\frac{1}{2}cosx-\frac{1}{10}cosx+C


    NOTA

    sen(-x)=-senx

    cos(-x)=cosx

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