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Integrales de flujo

De por WikiMatematica.org


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Se considera un campo vectorial \vec F (\vec r), y se define el flujo del campo, a través de una superficie S como la integral:

\Psi (S) = \int_S \vec F (\vec r) \cdot d\vec S, en que  d\vec S es el elemento vectorial de superficie, que es un vector perpendicular a la superficie, cuya magnitud es el elemento de área. Si la superficie es cerrada, la convención usual es que el elemento d\vec S apunta hacia afuera del volumen encerrado por la superficie. Evidentemente, el flujo es un escalar.

Como se habla anteoriormente, las integrales de flujo se definen a través de una superficie y esta superficie la llamamos S y la podemos definir de dos maneras:

Implicita: f(x,y,z)=0

Paramétrica: parametrizamos para (u,v) en tres funciones(a,b,c) sobre una región R\subset \mathbb{R}^{2} \forall (u,v)\in R el punto (a(u,v),b(u,v),c(u,v))\in S en este caso decimos que la parametrizacion queda de esta manera:

x=a(u,v)

y=b(u,v)

z=c(u,v)

(u,v)\in R

Contenido

Ejemplo 1

Para poder entender un poco más el concepto de que se está calculando cuando hablamos de integrales de flujo tenemos las siguientes imágenes:

Flujo y superficie.jpg

Como podemos observar en la imagen anterior calculamos el flujo que está pasando a través de una superficie dada. Al trabajar con integrales de superficie debemos tomar en cuenta también que es necesario orientar correctamente el flujo que pasa a traves de la superficie evaluada.

Ejemplo 2:

Halle el flujo del campo vectorial F(x,y,z)=zi+yj+xk, a través de la esfera unitaria  x^{2} + y^{2} + z^{2}=1

Solucion: Usando una representación paramétrica:

r(\phi , \theta)=\sin\phi \cos\theta i+\sin\phi\sin\theta j+ \cos\phi k,0\leq\phi\leq\pi,0\leq\theta\leq2\pi

Tenemos que: F(r(\phi , \theta))=\cos\phi i+\sin\phi\sin\theta j+ \sin\phi\cos\theta k. r_{\phi}\times r_{\theta}=\sin^{2}\phi \cos\theta i+\sin^{2}\phi\sin\theta j+\sin\phi \cos\phi

Por tanto: F(r(\phi , \theta))\cdot (r_{\phi}\times r_{\theta})=\cos\phi\sin^{2}\phi \cos\theta i+\sin^{3}\phi\sin^2\theta j+\sin\phi \cos\phi\cos\theta

El flujo es: \iint_{S}F\cdot dS =\iint_{D}F\cdot (r_{\phi}\times r_{\theta})dA

                       =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}(\cos\phi\sin^{2}\phi \cos\theta i+\sin^{3}\phi\sin^2\theta)d\phi d\theta
                       =\frac{4\pi}{3}


Ejemplo 3

Determinar el flujo del campo  \vec{f}_{(x,y,z)}=y\hat{i}+x\hat{j}+z\hat{k} donde S es la frontera de la región solida E encerrada por el paraboloide  z=1-x^2-y^2 y el plano  z=0

x = u ; y = v ; z = 1-u^2-v^2


\vec{r}_{u,v}=u\hat{i}+v\hat{j}+(1-u^2-v^2)\hat{k}


\vec{r}_{u}=\hat{i}-2u\hat{k}

\vec{r}_{v}=\hat{j}-2u\hat{k}

\vec{N}=(\vec{r}_{u}\times\vec{r}_{v}) = \hat{k}+2v\hat{j}+2u\hat{u}


 \int_S \vec F (\vec r) \cdot d\vec S = \int\int_D{(v\hat{i}+u\hat{j}+(1-u^2-v^2)\hat{k})}\cdot {(2u\hat{i}+2v\hat{j}+\hat{k})}

\int\int 2uv+2uv+1-u^2-v^2

\int\int 4uv+1-u^2-v^2


x=u=rcos\theta ; y=v=rsin\theta

\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^}{1}[4r^2cos\theta sin\theta + 1 - r^2]rd\theta dr = \frac {\pi}{2}

Ejemplo 4

Tenemos la siguiente superficie: Iflujos.jpg

Sea S la parte de la gráfica de  Z= 9-x^{2}-y^{2} tal que z \geq 0 , y sea F(x,y,z) = 3xi + 3yj +zk . Calcular el flujo de F a través de S.

Entonces para resolver este ejemplo procedemos a calcular\overrightarrow{n} . Entonces igualamos nuestra ecuación z(x,y,z) a una nueva función que llamaremos h(x,y,z)

 h(x,y,z)= z -( 9-x^{2}-y^{2}) Ahora calculamos las derivadas parciales de nuestra función:

\frac{\partial h(x,y,z) } {\partial x}= 2xi

\frac{\partial h(x,y,z) } {\partial y}= 2yj

\frac{\partial h(x,y,z) } {\partial z}= k

siendo entonces:

\frac{\partial h(x,y,z) } {\partial (x,y,z)}= 2xi + 2yj+ k y tenemos que \overrightarrow{n}=\frac{\bigtriangledown h(x,y,z)}{\left \| \bigtriangledown h(x,y,z \right \|} = \frac{2xi+2yj+k}{\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+1}}

Ahora calculamos F\cdot n =  (3x+3y+3z)\cdot \frac{2x+2y+z}{\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+1}}

Por ultimo tenemos:

\int_{0}^{2\pi } \int_{0}^{3} (3x+3y+3z)\cdot \frac{2x+2y+z}{\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+1}}   dS

\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{3}\frac{6x^{2}+6y^{2}+z}{\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+1}}dS

\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{3}\frac{6x^{2}+6y^{2}+9-x^{2}-y^{2}}{\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+1}}\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+1}dS

\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{3}5x^{2}+5y^{2}+9 dA

ahora convertimos a polares y resolvemos la integral doble:

\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{3}(5r^{2}+9)r drd\theta

el resultado final es:

\frac{567\pi }{2}

Ejemplo 5

Encuentre el flujo de F=yzj+z^{2}k hacia el exterior a través de la superficie S que consiste en la parte del cilindro  y^{2}+z^{2} = 1 que se encuentra entre  x = 0, x = 1 y z\geq  0

Comenzamos entonces calculando la normal exterior de la superficie. Para esto se calcula el gradiente y el módulo del gradiente y se realiza un cociente entre ellos, de la siguiente manera:

\vec{n}=\frac{\bigtriangledown (x,y,z)}{\left \| \bigtriangledown (x,y,z) \right \|} =\frac{\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}j+k}{\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}} =yj+\sqrt{1-y^{2}}k

Ya que tenemos \vec{n} procedemos a calcular F\cdot\vec{n}:

z=\sqrt{1-y^{2}} Esto sale de despejar z de la ecuación de la parte del cilindro sobre el cual estamos trabajando.

F\cdot \vec{n}=(yzj+z^{2}k)\cdot(yj+\sqrt{1-y^{2}}k)

=y^{2}z+z^{2}\sqrt{1-y^{2}}

En este paso ya sustituimos z por la expresión que tenemos al principio del desarrollo de esta operación.

=y^{2}\sqrt{1-y^{2}}+(1-y^{2})\sqrt{1-y^{2}}

Sacamos factor común

=\sqrt{1-y^{2}}(y^{2}+1-y^{2})

=\sqrt{1-y^{2}}

y por último tenemos que

F\cdot\vec{n}=\sqrt{1-y^{2}}

Ejemplo 6

Esta vez calcularemos el flujo de un campo vectorial, utilizando el teorema de Gauss.

El campo vectorial sobre el cual calcularemos el flujo es F = x^{2}y\hat{i} + 2xz\hat{j}+yz^{3}\hat{k}

Cubito.gif

Entonces procedemos a sacar las derivadas parciales de cada término del campo vectorial.

Si tenemos a F = M\hat{i} + N\hat{j}+P\hat{k}

entonces realizamos:

\frac{\partial M}{\partial x} = 2xy


\frac{\partial N}{\partial y} = 0


\frac{\partial P}{\partial z} =3yz^{2}

Entonces de acuerdo al teorema de Gauss tenemos que:

F\cdot \vec{n}dS=(\frac{\partial M}{\partial x}+\frac{\partial N}{\partial y}+\frac{\partial M}{\partial z})dV

Ahora procedemos al cálculo de

F\cdot \vec{n}dS

F\cdot \vec{n}dS= \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \int_{0}^{3} (2xy + 3yz^{2})dzdydx

F\cdot \vec{n}dS= \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} (6xy + 27y)dydx

F\cdot \vec{n}dS= \int_{0}^{1} (12x + 54)dx = 60

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