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Integrales de línea

De por WikiMatematica.org


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La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar.

En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también INTEGRAL DE CONTORNO.

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

  • El cálculo de la longitud de una curva en el espacio;
  • El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva;
  • Ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.


F(x,y,z)=(F_{1}(x,y,z),F_{2}(x,y,z),F_{3}(x,y,z)) una función vectorial definida en


\bigcup \subset \Re^{3}\mapsto \Re^{3}, diferenciable y acotada en U;


\sigma (t)=(x(t),y(t),z(t)) la parametrización de una trayectoria en \Re^3. Se llama integral de línea de F sobre \sigma a la integral:


\int_{\sigma}^{}F\bullet \partial s=\int_{a}^{b}(F \circ  \sigma) \bullet  (\sigma^+(t))\partial t


Una forma mas utilizada para expresar la integral de línea teniendo en cuenta que el vector diferencial de curva también se pude expresar así:

\partial s=(\partial x,\partial y,\partial z)

Entonces después de resolver el producto punto obtenemos:

\int_{\sigma}^{}F \bullet\partial s=\int_{\sigma}^{}(F_{1}(x,y,z),F_{2}(x,y,z),F_{3}(x,y,z))\bullet(\partial x,\partial y,\partial z)


\int_{\sigma}^{}F \bullet\partial s=\int_{\sigma}^{} F_{1}(x,y,z)\partial x + \int_{\sigma}^{} F_{2}(x,y,z)\partial y + \int_{\sigma}^{} F_{3}(x,y,z)\partial z

Integral de linea 1.jpg Integral de linea 2.jpg


Contenido

Trabajando Integrales de Línea

A la hora de trabajar integrales de línea debemos, considerar los siguientes pasos, para realizar con éxito nuestro cálculo:

Primero debemos parametrizar la curva sobre la cual estamos trabajando:

r(t)= x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j} + z(t)\hat{k}

Luego trabajamos la función a evaluar, sustituyendo el resultado de la parametrización en dicha función. E integramos:

\int_{a}^{b}f(r(t))dS

Luego sustituimos dS por: \sqrt{\left ( \frac{dx(t)}{dt}  \right )^{2}+\left ( \frac{dy(t)}{dt} \right )^{2}}dt

teniendo así lo siguiente:

\int_{a}^{b}f(r(t))\sqrt{\left ( \frac{dx(t)}{dt}  \right )^{2}+\left ( \frac{dy(t)}{dt} \right )^{2}}dt

Ejemplo # 1

  • Evaluar la integral de línea del campo vectorial F(x,y,z)=xi+yj+zk sobre la trayectoria de una hélice \sigma(t)=(sen t,cos t, t) de [0,2\pi]


Solución: Se resuelve la integral de acuerdo a la definición

\int_{\sigma}^{}F\bullet\partial s=\int_{0}^{2\pi}(sen t, cos t, t)\bullet(cos t, -sen t, 1)\partial t

=\int_{0}^{2\pi}((sent cost) -(sent cost) + t)\partial t


=\int_{0}^{2\pi}t \partial t=[\frac{t^2}{2}]_{0}^{2\pi}=\frac{4 \pi ^2}{2}


=\int_{\sigma}^{}F\bullet\partial s=2\pi^2

Ejemplo#2

Ejemplo de integral de linea edgare.jpg


Ejemplo#3

Un hombre de 160 libras lleva una cubeta de pintura de 25 libras a lo alto de un tanque a traves de una escalera helicoidal. La escalera tiene 20 pies de radio. Al alcanzar la altura máxima de 90 pies del tanque la escalera ha dado tres vueltas completas. Calcule el trabajo realizado para llevar la cubeta hasta lo más alto del tanque.

'Solución'

Sabemos que al dar tres vueltas completas llegaremos a alcanzar 90 pies. De esto establecemos una relación y encontramos que 6πz=90t, por lo tanto z=15/πt. También conocemos la fuerza que va en dirección de z y son 185 lb. Con esto encontramos nuestras ecuaciones:

\vec{r(t)}=20cos(t)\hat{i}+20sin(t)\hat{j}+\frac{15}{\pi}t \hat{k}

\vec{F}_{(x,y,z)}=185\hat{k}

Con esto podemos evaluar nuestra integral de línea haciendo variar t desde 0 hasta 6π

\int_{0}^{6\pi}(185)(\frac{15}{\pi})dt=16650 lb-ft

Ejemplo#4

Evalúe \int_{C}2x ds donde c consiste del arco c1 de la parábola y=x² que va de (0,0)->(1,1) y c2 que es el segmento de recta de (1,1)->(1,2)

Parametrización de las curvas

C1: x(t)=t

y(t)=t^2, donde 0\leq t \leq 1

C2: x(t)=1

y(t)=t, donde 1\leq t \leq 2

Con esto ya podemos evaluar nuestro integral de linea:

\int_{C}2x ds=\int^{1}_{0}2t \sqrt{1+4t^2}dt +\int^{2}_{1}2dt=1.69+2=3.69

Ejemplo#5

Calcule el trabajo hecho por el campo de fuerza \vec{F}_{(x,y)}=x^2\hat{i}-xy\hat{j} al mover la partícula a lo largo de una cuarta parte de un círculo cuya ecuación vectorial es \vec{r}_{(t)}=cos(t)\hat{i}+sin(t)\hat{j}

Sabemos que el cuarto de círculo que estamos utilizando va desde 0 hasta π/2. Si sustituimos en la función del campo de fuerza la ecuación vectorial del círculo obtenemos

\vec{F}(\vec{r}_{(t)})=cos^2(t)\hat{i}-cos(t)sin(t)\hat{j}

Necesitamos también la primera derivada de nuestra ecuación vectorial del círculo

\dot{\vec{r}}=-sin(t)\hat{i}+cos(t)\hat{j}

Realizamos el producto punto entre vectores

\vec{F} \cdot \vec{r}=-cos^2(t)sin(t)-cos^2(t)sin(t)=-2cos^2(t)sin(t)

Ahora solo nos queda evaluar nuestro integral

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}-2cos^2(t)sin(t) dt=-\frac{2}{3}

Ejemplo#6

Evalue \int (2+x^{2}y)ds c es la mitad superior del circulo unitario.

Parametrizamos: x(t)= cos\left (t  \right ) y(t)= sen\left (t  \right ) 0\leq t\leq \pi

ds=\sqrt{sen(t)^{2} +cos(t)^{2}} evaluamos la integral:


\int_{0}^{\pi }((2 + cos^{2}(t)*sen(t))\sqrt{sen(t)^{2} +cos(t)^{2}})dt


\int_{0}^{\pi }(2+cos^{2}(t)\cdot sin(t))dt=2\pi  +\frac{2}{3}

Aplicacion De La Integral De Linea Al Calculo Del Trabajo

El trabajo en la física elemental se define como “trabajo es igual a fuerza por distancia”, es decir que el trabajo que se efectúa sobre el cuerpo se da por: W = Fd , donde F es una fuerza constante que actúa sobre el cuerpo y que es paralela al desplazamiento y d es la magnitud del desplazamiento.


Ejemplo#7

Evalue el trabajo realizado por el campo de fuerza \vec{F}_{(x,y,z)}=\frac{1}{2}x\hat{i}-\frac{1}{2}y\hat{j}+\frac{1}{4}\hat{k} sobre una particula que se mueve por la helice de ecuación \vec{r}_{(t)}cos(t)\hat{i} + sin(t)\hat{j} + t\hat{k} desde el punto (1,0,0) hasta (-1,0,3\pi)


Luego de graficar la superficie nos damos cuenta que va desde el punto  0 a 3\pi

Necesitamos la primera derivada de nuestra ecuación de superficie.

\dot{\vec{r}}=cos(t)\hat{i} + sin(t)\hat{j} + t\hat{k}

Luego sustituimos en la función del campo de fuerza la ecuación vectorial de la superficie obtenemos:

\vec{F}(\vec{r}_{(t)})=\frac{1}{2}cos(t)\hat{i}-\frac{1}{2}sin(t)\hat{j}+\frac{1}{4}\hat{k}

Realizamos el producto punto entre los vectores:

\vec{F} \cdot \dot{\vec{r}}=\frac{1}{2}cos(t)sin(t)-\frac{1}{2}cos(t)sin(t)+\frac{1}{4} = \frac{1}{4}

Evaluamos la integral

\int_{0}^{3\pi} \frac{1}{4} dt = \frac{3}{4}\pi

Ejemplo#8

Tomando  \vec{F}_(x,y)= y\hat{i}+x^{2}\hat{j} Evaluar la integral de linea sobre la superficie  \vec{r}_{(t)}= t\hat{i}+(4t-t^{2})\hat{j} para 1\leq t \leq 4


Necesitamos la primera derivada de nuestra ecuación de superficie.

\dot{\vec{r}}=\hat{i} + (4t-t^{2})\hat{j}

sustituimos en la función del campo de fuerza la ecuación vectorial de la superficie obtenemos:

\vec{F}(\vec{r}_{(t)})=(4t-t^{2})\hat{i} + t^{2}\hat{j}

Realizamos el producto punto entre los vectores:

 \vec{F}(\vec{r}_{(t)}) \cdot \dot{\vec{r}} = (4t-t^{2})+(4-2t)t^{2}

Evaluamos la integral

\int_{1}^{4} (4t-t^{2})+(4-2t)t^{2}dt = -\frac{69}{2}

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