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Integrales dobles en coordenadas polares

De por WikiMatematica.org

Contenido

Cambio a coordenadas polares en una integral doble

Si deseamos integrar f funcion definida dentro de una region R, generalmente lo hariamos evaluando la integral doble \iint_{R}f(x,y)dA) sobre la region de integracion que definiriamos utilizando los metodos que hemos visto antes en coordenadas rectangulares. Un problema que puede presentarse seria si se deseara trabajar con ciertas figuras circulares (p.ej. circulos, paraboloides, elipsoides, etc.), la definicion de su region de integracion se vuelve algo complicada.

Una forma en la que nos facilitamos el trabajo es el trabajar para coordenadas polares, dado que estas se adecuan de mejor manera a las formas circulares.

Recordemos las ecuaciones que relacionan coordenadas polares con rectangulares

r^2=x^2+y^2
x=rcos\theta
y=rsin\theta

Entonces, haciendo esta transformacion, tendriamos que ahora la region R esta definida como

R=\{(r,\theta)|a<=r<=b, \alpha<=\theta<=\beta\}

el diferencial de area dA se definiria como

dA=rdrd\theta

y la integral quedaria como

\iint_{R}f(x,y)dA =\int_{\alpha}^{\beta}\int_{a}^{b}f(rcos\theta,rsen\theta)rdrd\theta

Teorema


Si f es continua en un rectangulo R dado por 0\leq a \leq r\leq b, \alpha \leq \Theta \leq \beta , donde 0\leq \beta  - \alpha \leq 2\pi entonces,

\iint_{R}f(x,y)dA =\int_{\alpha}^{\beta}\int_{a}^{b}f(rcos\theta,rsen\theta)rdrd\theta

Video Resumen Integrales Dobles sobre regiones polares


Clase de Integrales Dobles en Coordenadas Polares MIT


Algunas Integrales dobles son mucho más fáciles de calcular en forma polar que en forma Rectangular. Esto es especialmente cierto para regiones circulares, en forma de cardioide o de pétalo de curva Rosa, e integrando donde aparezca  x^2+y^2


Ejemplo # 1

recordatorio x^2+y^2=r^2 Evaluar:

  • \int \int \underset{R}{}(3x+4y^{2})dA

donde R es la región del semi-plano superior limitado por los círculos


O2.gif

x^2+y^2=1 y x^2+y^2=4.


 R = \{  (x,y) | 1 \leq r \leq 2 ,  0 \leq \theta \leq 2\pi  \}


\int_{1}^{4} \int_{0}^{2 \pi} 3r cos(\theta)+4r^2sin^2(\theta) d\theta dr = 84 \pi

Ejemplo # 2

  • Determinar el volumen del sólido acotado por el plano z=0 y el paraboloide z=1-x^2 -y^2


O.gif


\ D = { (r,\theta) |  0\le r\le 1  ;   0\le \theta\le 2	\pi   \}


Resolviendo:

\iint_{0}^{2\pi }  1-r^2cos^2(\theta)-r^2sen^2(\theta)r \, d\theta \, dr


\iint_{0}^{2\pi }  (1-r^2)r \, d\theta \, dr


Después de Integrar:

\iint_{0}^{2\pi }  (1-r^2)r \, d\theta \, dr  = \cfrac{\pi }{2} u^3

Paraboloide2.png

Ejemplo # 3

Calcular el volúmen de un sólido que está debajo del paraboloide z=x^2 + y^2, encima del plano \ z=0 y dentro del cilindro x^2 + y^2= 2x .

Otro2.gif


 x^2 + y^2 = 2x


 x^2 -2x + y^2 = 0 complementando al cuadrado:


 (x-1)^2 -1 + y^2 = 0


 (x-1)^2 + y^2 = 1


 x^2 + y^2 = 2x


 r^2 = 2rcos\theta


 r(r-2cos\theta) = 0


 r = 2cos\theta


Ahora procedemos a integrar:


 D= \{ (r,\theta) |  -\cfrac{\pi }{2} \le \theta \le \cfrac{\pi }{2}   ;     0 \le  r\le 2cos\theta   \}



\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2cos\theta }  r^2r \, dr \, d\theta  = \cfrac{3\pi }{2} u^3

Ejemplo # 4

Encuentre la masa y el centro de masa de un triangulo con vértices en (0,0),(1,0) y (0,2). Densidad \rho (x,y)=1+3x+y



Otro.gif

D=\left \{ (x,y)\setminus 0\leq x\leq 1;0\leq y\leq 2-2x) \right \}

masa=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2-2x}(1+3x+y)\partial y\partial x=\frac{8}{3}

Mx=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2-2x}y(1+3x+y)\partial y\partial x=\frac{11}{6}

My=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2-2x}x(1+3x+y)\partial y\partial x=1

\bar{x}=\frac{1}{\frac{8}{3}}=\frac{3}{8}\approx 0.3

\bar{y}=\frac{\frac{11}{6}}{\frac{8}{3}}=\frac{11}{16}\approx 0.7

centro de masa=(\bar{x},\bar{y})

Ejemplo # 5

La densidad en cualquier punto en una lamina semicircular es proporcional a la distancia al centro. Encuentre el centro de masa.

\rho (x,y)=k\sqrt{x^2+y^2})\rightarrow \rho (r,\theta )=kr

D=\left \{ (r,\theta ) \setminus 0\leq r\leq a;0\leq \theta \leq \pi \right \}

masa=\int_{0}^{a}\int_{0}^{\pi }kr^2\partial \theta \partial r=\frac{r^3k\pi }{3}

Mx=\int_{0}^{a}\int_{0}^{\pi }r\sin \theta kr^2\partial \theta \partial r=\frac{a^4k }{2}

My=\int_{0}^{a}\int_{0}^{\pi }r\cos \theta kr^2\partial \theta \partial r=0

\bar{x}=0

\bar{y}=\frac{\frac{a^4}{2}}{\frac{a^(3\pi )}{3}}=\frac{3a}{2\pi }


Ejemplo # 6

inside the sphere \ x^2+y^2+z^2= 16 outside the cylinder \ x^2+y^2=4



Otro3.gif

 D= \{ (r,\theta) |  0 \le \theta \le \2\pi   ;     2 \le  r\le 4   \}

ahora despejo para " z " ya que es la función que me da la altura de la siguiente forma:

\ z^2= 16-x^2-y^2

factorizo un signo menos: \ z^2= 16-(x^2+y^2)

y como sabemos que: \ r^2= x^2+y^2 entonces

\ z= \sqrt{16-r^2}

ahora aplicamos la integral doble:

\int_{0}^{{2}{\pi}} \int_{2}^{4 } \sqrt{16-r^2} r \, dr \, d\theta  = 87.06 ahora multiplicar x 2 ya q esto solo es la mitad de la esfera.

--Hersonjmc 21:35 31 oct 2010 (CST)hersonjmc

Ejemplo # 7

\int \int \ XdA

círculos:


\ x^2+y^2=4
\ x^2+y^2=2x
entonces aplicamos los completación al cuadrado a la siguiente ecuación para llegar a la forma del circulo:
\ x^2+y^2=2x 
\ x^2-2x+y^2=0 
\ x^2-2x+1+y^2=1 
\ (x-1)+y^2=1 

entonces obtenemos los limites de integración:


 D= \{ (r,\theta) |  0 \le \theta \le \cfrac{\pi }{2}   ;     0 \le  r\le 1   \}

aplicamos la integral doble :


\int_{0}^{\cfrac{\pi }{2}} \int_{0}^{1} (cos\theta) r r \,dr \ d\theta   =\cfrac{1}{3}

--Hersonjmc 21:49 31 oct 2010 (CST)hersonjmc

Ejemplo # 8

Utilice coordenadas polares para encontrar la integral de la región dentro del paraboloide z=x^2 + y^2 y dentro del cilindro x^2 + y^2 = 9


Para este problema nuestra región la limita el cilindro

r^2 = 9

R = \left \{ \left ( r,\theta  \right ) \mid  0\leq r\leq 3 ; 0\leq \theta \leq 2\pi  \right \} 

La altura la limita la función del paraboloide

z = r^2

entonces tenemos la integral

\int_{0}^{3}\int_{0}^{2\pi } r^2 * r d\theta dr

Resolovemos la integral y la respuesta es : \frac{81\pi }{2}

Ejemplo # 9

Utilizar una integral doble para encontrar el área encerrada por un petalo de la rosa de 4 hojas  r = cos (2\theta)

Graph24.JPG

A(D)=\iint_{D}dA=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\int_{0}^{cos2\theta}r dr d\theta
              =\int_{-\pi/4}^{\pi/4}[1/2 r^2]_{0}^{cos2\theta}d\theta=\frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}cos^22\theta d\theta

              =\int_{-\pi/4}^{\pi/4}(1+cos4\theta)d\theta=\frac{1}{4}[\theta + \frac{1}{4} sen 4 \theta]_{-\pi/4}^{\pi/4}=\pi/8
--Juliocm 23:10 31 oct 2010 (CST)

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