.

Integrales triples

De por WikiMatematica.org

Cuando la función a evaluar está en dependencia de tres variables, la herramienta correspondiente en el cálculo integral se denomina INTEGRAL TRIPLE y aunque carece de significado geométrico, puede utilizarse para aplicaciones físicas tales como masas, cargas y momentos.

Su descripción es comprensible si empezamos sobre una superficie solida rectangular.


La integral triple de f de una caja B is \iiint_{B}^{ } f(x,y,z) dV = \underset{l,m,n \to \infty}{lim}\sum_{l}^{i=1}\sum_{m}^{j=1}\sum_{n}^{k=1}f(x\underset{ijk}{*},y\underset{ijk}{*},z\underset{ijk}{*})\Delta V si el limite existe.


La integral triple \iiint_{R}\, f(x,y,z) dV de una función de tres variables independientes extendida a una región cerrada R de puntos (x,y,z) de volumen V, en la cual la función es uniforme y continua no es mas que una generalización del concepto de integral simple y doble. En el caso de que f(x,y,z) = 1, la integral \iiint_{R}\, f(x,y,z) dV representa la medida del volumen de la región R.

Contenido

Calculo de la integral triple

\iiint_{R}\, f(x,y,z) dV en coordenadas rectangulares

\iiint_{R}\, f(x,y,z) dV = \int_{a}^{b}\int_{y1(x)}^{y2(x)}\int_{z1(x,y)}^{z2(x,y)}\, f(x,y,z) dz dy dx

 = \int_{c}^{d}\int_{x1(y)}^{x2(y)}\int_{z1(x,y)}^{z2(x,y)}\, f(x,y,z) dz dx dy, etc. tomando los limites de integración de forma que cubran la región R.


\iiint_{R}\, f(\rho,\theta,z) dV en coordenadas cilíndricas

\iiint_{R}\, f(\rho,\theta,z) dV = \int_{\alpha}^{\beta}\int_{\rho1(\theta)}^{\rho2(\theta)}\int_{z1(\rho,\theta)}^{z2(\rho,\theta)}\, f(\rho,\theta,z)\rho dz d\rho d\theta tomando los limites de integración de forma que cubran la región R.



\iiint_{R}\, f(\rho,\phi,\theta) dV en coordenadas esféricas

\iiint_{R}\, f(\rho,\phi,\theta) dV = \int_{\alpha}^{\beta}\int_{\phi1(\theta)}^{\phi2(\theta)}\int_{\rho1(\phi,\theta)}^{\rho2(\phi,\theta)}\, f(\rho,\phi,\theta)\rho^2 \sin(\phi) d\rho d\phi d\theta tomando los limites de integración de forma que cubran la región R.


Ejemplo #1

  • Evaluar \iiint_{E}\, z dV, donde E es el tetraedro sólido limitado por los cuatro planos  x = 0, y = 0, z = 0, y x + y + z = 1.


La frontera inferior del tetraedro es el plano Z=0 y la frontera superior es el plano x+y+z=1. Los planos  x+y+z=1 y  z=0 se cortan en la recta x+y=1 en el plano xy. Por tanto, la proyección de E es la región triangular.


Entonces tenemos E=\left \{ \left ( x,y,z)\left |  0\leq x\leq 1 , 0\leq y\leq 1-x, 0\leq z\leq 1-x-y \right ) \right \}


Esta descripción de E como una región tipo 1, nos permite evaluar la integral así:


\iiint_{E}\, z dV =  \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{1-x-y} z dz dy dx =  \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} \left [ \frac{z^2}{2} \right ]^\left( z=1-x-y \right ) dydx


= \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\int_{o}^{1-x} \left ( -\ 1-x-y \right )^2 dydx


= \frac{1}{2}\int_{0}^{1} \left [ -\frac{(1-x-y)^3}{3} \right ]^\left (y=1-x \right ) dx


= \frac{1}{6}\int_{0}^{1}  \ (1-x)^3  dx


= \frac{1}{6} \left [ -\frac{(1-x)^4}{4} \right ]^1 = \frac{1}{24}

Video Integrales Triples del MIT

Ejemplo #2

  • \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{2-x} xyz dz dy dx


\int_{0}^{1}\left [\int_{0}^{1-x}\left ( \int_{0}^{2-x}xyz dz \right )dy  \right ]dx


\int_{0}^{1} \left  \int_{0}^{1-x} \left [\left ( \frac{xyz^2}{2} \right )\right |_{z=0}^{z=2-x} dy\right  \right  ]dx


\int_{0}^{1}   \left [\int_{0}^{1-x}  \frac{xy(2-x)^2}{2}dy   \right ] dx



\int_{0}^{1}   \left [\int_{0}^{1-x}  \frac{xy(2-x)^2}{4}dy \right |_{y=0}^{y=1-x}  \right ] dx


\frac{1}{4}\int_{0}^{1}(4x-12x^2+13x^3-6x^4+x^5)dx = \frac{13}{240}



Ejemplo #3

  • \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}\frac{0}{2} z \rho ^2\sin\theta dz d\rho d\theta


\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}\frac{z^2}{2} \left | _{0}^{2} \rho ^2\sin\theta  d \rho d\theta



2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}\rho ^2\sin\theta  d \rho d\theta


\frac{2}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\rho ^3  \left | _{0}^{1}  \sin\theta   d\theta


\frac{2}{3}\cos\theta   \left | _{0}^{pi/2}} = 2/3


Ejemplo # 4

  • \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sec \phi} \sin2\phi d\rho d\theta


= 2\int_{0}^{\pi}\left \int_{0}^{\pi /4} \sin \phi d \phi  d \theta


= 2\int_{0}^{\pi}\left ( 1- \frac{1}{2}\sqrt{2} \right )d \theta = (2-\sqrt{2}) \pi

Ejemplo # 5

  • Evalue la integral triple \iiint_{R}\,Z dV donde E es la region acotada por el cilindro y^{2} + z^{2} = 0 y los plasnos x = 0, y = 3x y z = 0



D={(x,y,z)\mid 0\leq y\leq 3,0\leq x\leq \frac{y}{3}, 0\leq z\leq \sqrt{9-y^2}}

\int_{0}^{3}\int_{0}^{\frac{y}{3}}\int_{0)}^{\sqrt{9 - y^2}}\,Z dz dx dy = \frac{27}{8}

--Harry 22 21:12 31 oct 2010 (CST)

Busca mas temas

Loading


Videos

Videos en Youtube de Integrales Triples

Anuncios