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Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas

De por WikiMatematica.org

En geometría plana, el sistema de coordenadas polares se usa para dar una descripción cómoda de ciertas curvas y regiones. La figura siguiente hace posible que recordemos la conexión entre coordenadas polares y cartesianas. Si el punto P tiene coordenadas cartesianas (x,y) y coordenadas polares (r,\Theta), entonces , de la figura,

x=r\cos \Theta , y=r \sin \Theta

r^2=x^2+y^2, \tan \Theta =\frac{y}{x}


Coorcilindricas.JPG
En tres dimensiones hay un sistema de coordenadas, llamadas coordenadas cilíndricas, que es semejante a las coordenadas polares y da descripciones cómodas de algunas superficies y sólidos que por lo general se presentan. Como veremos algunas integrales triples son mucho más faciles de evaluar en coordenadas cilíndricas.
En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en espacio tridimensional está representado por el triple ordenado (r,\theta,z), donde r y q son coordenadas polares de la proyección de P sobre el plano xy y z es la distancia dirigida desde el plano xy a P.
Coorcilindricas2.JPG

Contenido

Video Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas (ver desde el minuto 21)


Ejemplos

Ejemplo# 01

Evalúe \int_{-2}^{2}\int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}}\int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{2}(x^{2}+y^{2})dzdydx

E=\left \{ (x,y,z)\left | -2\leq x\leq 2, -\sqrt{4-x^{2}}\leq y\leq\sqrt{4-x^{2}},\sqrt{x^{2}+y^{2}}\leq z\leq 2  \right \}
podemos ver que la proyección de E sobre el plano xy es el disco x^{2} + y^{2}\leq 4. La superficie inferior de E es el cono z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} y su superficie superior es el plano z = 2. Esta región tiene una descripción mucho más simple en coordenadas cilíndricas:
E=\left \{ (r,\Theta,z)\left | 0\leq \Theta \leq 2\Pi , 0\leq r\leq\2,r\leq z\leq 2  \right \}
por lo tanto la integral se puede escribir de la siguiente manera:
\int_{0}^{2\Pi}\int_{0}^{2}\int_{r}^{2}r^{2}rdzdrd\Theta = \frac{16\Pi}{5}

Ejemplo# 02

Evalúe \int \int \int_{B}^{ } e^{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\frac{3}{2}}}dV donde B es la bola unitaria:

B=\left \{ \left ( x,y,z \right ) \left | x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right \}
puesto que el límite de B es una esfera, se usan coordenadas esféricas:

B=\left \{ \left ( \rho ,\Theta ,\Phi  \right ) \left | 0\leq \rho\leq 1, 0\leq \Theta \leq 2\Pi, 0\leq \Phi \leq \Pi \right

Ademas las coordenadas esféricas apropiadas porque: x^{2}+y^{2}+z^{2} = \rho ^{2}, entonces:

\int_{0}^{\Pi}\int_{0}^{2\Pi}\int_{0}^{1}e^{((\rho)^{2})^{\frac{3}{2}}} \rho ^{2}sen\Phi d\rho d\Theta d\Phi = \frac{4}{3}\Pi(e-1)

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