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Intervalos

De por WikiMatematica.org

Los intervalos son subconjuntos que representa el inicio y el final de una recta real de los elementos que incluye el subconjunto.


Intervalo.png


Los tipos de acotamientos son:

Si se tiene un paréntesis a la par del numero es que no pertenece o volita vacía, pero si tiene un corchete es que pertenece o volita llena.

Contenido

Intervalo abierto (a,b)

Está formado por los números comprendidos entre a y b, excluidos ambos. Se expresa: a<x<b

Intervalo abierto.png

Intervalo cerrado \left [ a,b \right ]==

Está formado por los números comprendidos entre a y b, incluidos ambos. Se expresa a\leq x\leq b

Intervalo cerrado.png

Intervalo abierto a la derecha [a,b)

Está formado por los números comprendidos entre a y b, incluido a. Se expresa  a\leq x<b

Intervalor abierta a la derecha.png

Intervalo abierto a la izquierda (a,b]

Está formado por los números comprendidos entre a y b, incluido b. Se expresa  a<x\leq b

Intervalor abierta a la izquierda.png

Intervalo Semi abierto  \ \ (a, \infty ) \!

Está formado por los números comprendidos entre a hasta el infinito. Se expresa a< x

Abierto a infinito.png

Intervalo Semi cerrado  \ \ [a, \infty ) \!

Está formado por los números comprendidos entre a hasta el infinito. Se expresa a\leq x

Cerrado a infinito.png

Intervalo Semi abierto  \ \ ( -\infty,b ) \!

Está formado por los números comprendidos entre a hasta el infinito. Se expresa  x<b

Menos infinito abierto superior.png

Intervalo Semi cerrado  \ \ ( -\infty,b ] \!

Está formado por los números comprendidos entre -\infinito y hasta b. Se expresa x\leq b

Menos infinito cerrado superior.png


Ejemplos

Ejemplo 1

(1,6) \rightarrow 1<x<6

Ejemplo 2

[2,10] \rightarrow 2\leq x \leq 10

Ejemplo 3

(-4,25] \rightarrow -4< x \leq 25

Ejemplo 4

[-200,250) \rightarrow -200 \leq x < 250

Ejemplo 5

Considere los siguientes intervalos:

A = [-3, 3] B = (-3, 3) C = [-1, 4] D = (-4, 5]

Dibujar sobre la recta real y escribir con notación de intervalo el resultado de las siguientes operaciones:

a) A \cup D

b) A \cap C

c) B-C

d) A \cap (B \cup C)

e) B^c complemento de B

f) C^c complemento de C

Solución

En primer lugar, se dibuja cada uno de los intervalos dados en la recta real, para luego efectuar de una manera mas sencilla las operaciones propuestas.


Asi que:

a. A u D = D = (-4, 5] = {x x R / -4 < x £ 5}

b. Como la intersección de dos conjuntos, corresponde al conjunto de elementos comunes, se deduce de las gráficas que:

     A Ç C = [-1, 3] = {  x x  R  / -1 £ x £ 3}

c. La diferencia entre los conjuntos B y C se define como el conjunto formado por los elementos que están en B, pero que no están en C, esto es, el intervalo (-3, -1).

Asi que: B-C=(-3,-1)={ x x R / -3 < x < -1}

Igualmente, C - B = [3, 4] = { x x R / 3 £ x £ 4}

d. En primer lugar, B u C = (-3, 4] = { x x R / -3 < x £ 4}

De la gráfica anterior, se deduce que:


     A Ç (B u C) = (-3, 3] = { x x  R/ -3 < x £ 3}

e. En este caso, el conjunto Universal o referencial es R .

Asi que:

B* = R - B = (- ¥ , -3] U [3, +¥) = { x x R / x < = -3 v x >= 3}

Igualmente, C* = R - C = (-¥ , -1) U (4, +¥ )= {x x R/ x < -1 v x > 4}


4. Resolver la desigualdad: 3x-1 <= x+5.

Solución




En consecuencia, la solución o el conjunto solución S, viene dado por: S = {x x R / x <= 3} = (-¥ , 3]


5. Resolver la desigualdad:

Solución (Porqué?)

En consecuencia, la solución es el intervalo abierto (2, + ¥ ).

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Ejemplo

A= \{ x \in R | x<0\}

intervalos

 (-\infty,0]

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