.

Límite de una función de una variable

De por WikiMatematica.org


Escribimos,

\lim_{x\to a}f(x)=L

y decimos "el límite de f(x), cuando x tiende a a, es igual a L"
si podemos acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L (tanto como deseemos) tomando a x lo bastante cerca de a, pero no igual a a.

Contenido

Límites Laterales

Límite por la izquierda

Escribimos

\lim_{x\to a^-}f(x)=L

decimos que el límite izquierdo de f(x) cuando x tiende a a [ o el límite de f(x) cuando x se acerca a a desde la izquierda] es igual a L, si podemos aproximar los valores de f(x) a L tanto como queramos, escogiendo x lo bastante cerca de a pero menor que a.

Límite por la derecha

Escribimos

\lim_{x\to a^+}f(x)=L

decimos que el límite derecho de f(x) cuando x tiende a a [ o el límite de f(x) cuando x se acerca a a desde la derecha ] es igual a L, si podemos aproximar los valores de f(x) a L tanto como queramos, escogiendo x lo bastante cerca de a pero mayor que a.

Teorema de la existencia del límite \lim_{x\to a}f(x)=L si y sólo si \lim_{x\to a^-}f(x)=L y \lim_{x\to a^+}f(x)=L

Propiedades de los Limites


Si c es una costante y existen los limites
\lim_{x\to a}f(x)\:\:\: y \:\:\: \lim_{x\to a}g(x)

Entonces se cumplen las siguientes propiedades:


1.\: \lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]= \lim_{x\to a}f(x) + \lim_{x\to a}g(x)

2.\: \lim_{x\to a}[f(x)-g(x)]= \lim_{x\to a}f(x) - \lim_{x\to a}g(x)

3.\: \lim_{x\to a}[cf(x)]= c\lim_{x\to a}f(x)

4.\: \lim_{x\to a}[f(x)*g(x)]= \lim_{x\to a}f(x) * \lim_{x\to a}g(x)

5.\: \lim_{x\to a}[\frac{f(x)}{g(x)}]= \frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}\:\:\: si \:\:\: \lim_{x\to a}{g(x)}\neq 0

6.\: \lim_{x\to a}[f(x)]^{n}= [\lim_{x\to a}f(x)]^{n}

7.\: \lim_{x\to a}[c]= c

8.\: \lim_{x\to a}[x]= a

9.\: \lim_{x\to a}[x^{n}]= a^{n} \:\:\: donde\: n\: es\: entero\: positivo

10.\: \lim_{x\to a}[\sqrt[n]{x}]= \sqrt[n]{a} \:\:\: donde\: n\: es\: entero\: positivo
(si\: n\: es\: par,\: la\: exprecion\: es\: valida\: cuando\: a>0)

11.\: \lim_{x\to a}[\sqrt[n]{f(x)}]= \sqrt[n]{\lim_{x\to a}}f(x) \:\:\: donde\: n\: es\: entero\: positivo
(si\: n\: es\: par,\: la\: exprecion\: es\: valida\: cuando\: a>0)

12.\: Si\: f\: es\: continua\: en\: b\: y\: \lim_{x\to a}[g(x)]= b \:entonces:\:
f(g(x))=f(b)= f(\lim_{x\to a}[g(x)])
--Jorgetr 00:43 26 jul 2009 (UTC)


Nota: Es importante saber como se traduce lo escrito con anterioridad , por ejemplo el teorema #1 se traduce como: el límite de una suma es la suma de los límites otro ejemplo sería el teorema #4 el cual se traduce como: el límite de una multiplicación es la multiplicación de los límites y así con el resto de teoremas.

Ejemplo #1

 \lim_{x\to 3}2x^{4}

 2\lim_{x\to 3}x^{4}

2{( \lim_{x\to 3}x )^ 4} =2 (3^4) = 162


Ejemplo #2


Evaluar.

 \lim_{x\to -2}(3x^{4}+2x^{2}-x+1)

 \lim_{x\to -2}3x^{4} + \lim_{x\to -2} 2x^{2}- \lim_{x\to -2}x + \lim_{x\to -2} 1

 3\lim_{x\to -2}x^{4} + 2\lim_{x\to -2} x^{2}- \lim_{x\to -2}x +  1

 3(-2)^{4} + 2(-2)^{2}-(-2}+1

 48+ 8+2+1 = 59
--Jorgetr 01:24 26 jul 2009 (UTC)

Ejemplo #3


Evaluar.

 \lim_{x\to 1}(\frac{1+3x}{1+4x^{2}+3x^{4}})^{3}

 (\lim_{x\to 1}\frac{1+3x}{1+4x^{2}+3x^{4}})^{3}

 (\frac{\lim_{x\to 1} (1+3x)}{\lim_{x\to 1}(1+4x^{2}+3x^{4})})^{3}

(\frac{\lim_{x\to 1} 1+\lim_{x\to 1} 3x}{\lim_{x\to 1}1+\lim_{x\to 1}4x^{2}+\lim_{x\to 1}3x^{4})})^{3}

 (\frac{ 1+3\lim_{x\to 1} x}{1+4\lim_{x\to 1}x^{2}+3\lim_{x\to 1}x^{4})})^{3}

 (\frac{ 1+3(1)}{1+4(1)^{2}+3(1)^{4})})^{3}

 (\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8}
--Jorgetr 01:24 26 jul 2009 (UTC)

Ejemplo #4


Evaluar.

 \lim_{x\to 1} \left ( \frac{x^{3}-1}{x-1}\right )\:->\: diferencia\: de\: cubos\:

\lim_{x\to 1} \left ( \frac{\left ( x-1 \right )\left (x^{2}+x+1  \right )}{x-1} \right )\:->\: se\: divide\: el\: (x-1)

 \lim_{x\to 1} \left (x^{2}+x+1  \right )

\therefore \lim_{x\to 1} \left ( \frac{x^{3}-1}{x-1}\right )= 3
--DiegoTello (II) 08003368 23:31 27 jul 2009 (UTC)

Ejemplo #5


Evaluar.

\lim_{x\to -3} \left (\frac{x^{2}+x-6}{x+3}\right ) :->\: se\: factoriza\: el\: x^{2}+x-6\:

\lim_{x\to -3} \left (\frac{\left ( x+3 \right )\left ( x-2 \right )}{x+3}\right )\:->\: se\: divide\: el\: (x+3)

\lim_{x\to -3} \left (x-2 \right )

\therefore \lim_{x\to -3} \left (\frac{x^{2}+x-6}{x+3}\right )= -5
--DiegoTello (II) 08003368 23:53 27 jul 2009 (UTC)

Ejemplo #6


Evaluar.
\lim_{x\to 2} \frac{x-2}{x^{3}-8}

Como esta no se puede evaluar de una vez, por que seria indefinido. factorizamos para que el denominador se pueda evaluar!

 \frac{(x-2)}{(x-2)(x^{2}+2x+4)} = \frac{1}{(x^{2}+2x+4)}
Evaluamos el limite.
 \lim_{x\to 2} \frac{1}{(x^{2}+2x+4)}

 \frac{1}{(2)^{2}+2(2)+4)}= \frac{1}{(4+4+4)} = \frac{1}{12} 


--Jorgetr 04:06 29 jul 2009 (UTC)

Ejemplo #7



Evaluar.
 \lim_{\Theta\to 0} \frac{\sin (\Theta )}{\Theta }

En esta no se puede evaluar el limite, ni factorizar lo que se hace es hacer una tabla con valores muy cercanos
al valor que tiende el limite y estimar el valor de este.

\:\:\:\: \Theta \:\:\:\:\: \:\:\:\:\: \: | \: \: \frac{\sin(\Theta )}{\Theta }
___________________
 -0.15 \: \: \: \: | \: \: 0.99
 -0.11 \: \: \: \: | \: \: 0.997
 0 \: \:\: \: \:\:\:   \: \: \: \: \:\:| \: \:
 0.15 \: \: \: \:\:  \: \:| \: \: 0.99
 0.11 \: \:\:\:   \: \:\:| \: \: 0.997
El Valor aproximado es 1.
--Jorgetr 04:35 29 jul 2009 (UTC)

Ejemplo #8

 \lim_{x\to -2}(3x^{2}+2x+6)

 \lim_{x\to -2}3x^{2} + \lim_{x\to -2} 2x+\lim_{x\to -2} 6

 3\lim_{x\to -2}x^{2} + 2\lim_{x\to -2} x +6

 3(2)^{2} + 2(2)+6

 12+ 4+6 = 22

Ejemplo #9

\lim_{x\to -2}\frac{x+2}{x^2-x-6}

\lim_{x\to -2}\frac{x+2}{(x-3)(x+2)}

\lim_{x\to -2} \frac{1}{(x-3)}= \frac{1}{((-2)-3)}

\lim_{x\to -2}\frac{x+2}{x^2-x-6}=-\frac{1}{5}



Ejemplo #10

 \lim_{x\to 1}(5x^{2}+2x+4)

 \lim_{x\to 1}5x^{2} + \lim_{x\to 1} 2x+\lim_{x\to 1} 4

 5\lim_{x\to 1}x^{2} + 2\lim_{x\to 1} x +4

 5(1)^{2} + 2(1)+4

 5+2+4 = 11

Ejemplo #11

\lim_{x\to 1}\frac{x- 1}{\sqrt x - 1}

\lim_{x\to 1}\frac{( \sqrt x - 1 ) * (\sqrt x + 1 )}{\sqrt x - 1 }

\lim_{x\to 1} {\sqrt x- 1} ={\sqrt 1 + 1}

\lim_{x\to 1}\frac{x- 1}{\sqrt x - 1} = 2

Busca mas temas

Loading


Anuncios