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La Hipérbola

De por WikiMatematica.org


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Gráfica de una hipérbola

Contenido

DEFINICIÓN

i. Sean F y F’ dos puntos de un plano (F F’). Se define la hipérbola de focos F y F’ como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancia a los focos es constante e igual a 2a. (a > 0).

ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F’ y la recta mediatríz del segmento F’F se llaman: Ejes de simetría de la hipérbola.

iii. El punto de intersección 0 de dos ejes de simetría, se llama CENTRO de la hipérbola. Los puntos A y A’ se llaman: VÉRTICES de la hipérbola.

El lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias a un punto y una recta fijos es constante recibe el nombre de sección cónica o simplemente cónica. En otras palabras, podemos decir que la hipérbola es la colección de todos los puntos del plano en los que la resta de sus distancias a dos puntos fijos, se llama foco y es constante.
El punto fijo se llama foco de la cónica, la recta fija directriz y la relación constante excentricidad que, normalmente, se representa por la letra e.
Las secciones cónicas se clasifican en tres categorías, según su forma y propiedades. Estas se establecen de acuerdo con los valores de la excentricidad e.
Si e < 1, la cónica se llama elipse.
Si e = 1, la cónica se llama parábola.
Si e > 1, la cónica se llama hipérbola.

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos siempre es constante y menor que la distancia entre los focos.

La recta que contiene a los focos se llama eje transversal , el punto medio de esa recta recibe el nombre de centro de la hipérbola y la recta que pasa por el centro pero es perpendicular al eje transversal recibe el nombre de eje conjugado.

La hipérbola se compone de dos curvas separadas, llamadas ramas, que son simétricas respecto del eje transversal, el eje conjugado y el centro.

Ecuaciones

Con centro en el origen:

Sobre el eje X:

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}= 1

Sobre el eje Y:

\frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}}= 1

Coordenadas Polares

Centrada en el origen y abierta horizontalmente: r^{2}= asec(2\Theta )

Centrada en el origen y abierta verticalmente: r^{2}= -asec(2\Theta )

Paramétricas

Abierta horizontalmente: x(t)= asec(t)+ h

Abierta verticalmente: x(t)= btan(t)+k


Con centro (H,K)

Sobre el eje X:

Suponer que el centro de la hipérbola esta en(h,k) y que los focos están situados a c unidades a la izquierda y derecha del centro

   \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}= 1

Los Focos estan en (h-c,k) y (h+c,k)

Los Vertices estan en (h-a,k) y (h+a,k)

Asintotas en \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}= 0

b^2=c^2-a^2

Sobre el eje Y:

El centro de la hipérbola esta en(h,k) los focos están situados a c unidades arriba y abajo del centro

   \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} - \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}= 1

Los Focos están en (h,k-c) y (h,k+c)

Los Vértices están en (h,k-a) y (h,k+a)

Asintotas en \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} - \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}= 0

b^2=c^2-a^2

Ejemplo 1

Hallar el centro,focos y vértices

   \frac{(x-3)^2}{25}-\frac{(y+2)^2}{36}=1

h=3

k=-2

a=25

 b=36

c^2=b^2+a^2=25+36=61

Vertices en (3-5,-2)=(-2-2) y (3+5,-2)=(8,-2)

Focos en (3-\sqrt{61},-2) y (3+\sqrt{61},-2)

Centro en (3,-2)
Ej1h.png

Ejemplo 2

Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es

 9x^2 - y^2 - 36x - 6y + 18 = 0

Solución:

Primer paso, se completa al cuadrado en ambas variables.

 9(x^2 - 4x + 4 - 4) - (y + 6y + 9 -9) = 0

 9(x-2)^2 - (x + 3)^2 = 0

 \frac{(x-2)^2}{1} - \frac{(x + 3)^2}{9} = 1

Por tanto, el centro está en  (2, -3) . El eje de la hipérbola es horizontal,  a = 1, b = 3 y

 c^2 = b^2 + a^2 => c^2 = 10 => c = \sqrt{10}

Los vértices están en  (1, -3), (3, -3)
Los focos en  (2 +/- \sqrt{10}, -3) y (2, -3 - \sqrt{13})
La excentricidad es  e = \sqrt{10} .


Hiperbola norm1.gif


Ejemplo 3

Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en  (3,-5) y (3,1)
y asíntotas  y = 2x -8; y = -2x + 4 Además calcular los focos, la excentricidad y después trazar la gráfica.

Solución:

Por ser el centro el punto medio de los vértices sus coordenadas son  (3, -2)
Además, la hipérbola tiene eje transversal vertical  a = 3
Ahora se utiliza el teorema de asíntotas

 m1 = 2 = \frac{a}{b} => b = \frac{a}{2} => b = \frac{3}{2}
La ecuación:

 \frac{(y + 2)^2}{9}-\frac{(y - 3)^2}{\frac{9}{4}} = 1

El valor de C está dado por:

 c^2 = a^2 + b^2 => c^2 = \frac{45}{4} => c = \frac{3\sqrt{5}}{2}

Los focos están en:  (-3,-2 \frac{3\sqrt{5}}{2})  y  (3, -2 + \frac{3\sqrt{5}}{2})

La excentricidad:  e = \frac{\sqrt{5}}{2}


Hiperbola norm2.gif

Demostración de la Ecuación de la Hipérbola con centro en el Origen

Hipérbola con centro en el origen.

Por definición la hipérbola es una figura geométrica que tiene dos focos, y la diferencia entre las distancias desde un punto hacia cada foco siempre es constante (la misma).

¿Pero cómo sabemos cual es esta distancia constante? Bueno, es fácil.

Enfoquémonos en un punto de la gráfica, específicamente el vértice A. La distancia F'A es c + a y la distancia FA es c - a. entonces tendríamos:

(c+a)-(c-a)=k donde k es la distancia constante.

Resolviendo para k tenemos 2a=k
Recuerda que c representa la distancia del centro a un foco y a es la distancia del centro al vértice.

Entonces, teniendo los puntos P(x,y), F(c,0) y F'(-c,0), escribimos la definición:
d(FP)-d(F'P)=2a

Ahora hacemos álgebra:

 \sqrt{ (x-c)^2 + (y-0)^2 }-\sqrt{ (x+c)^2 + (y-0)^2 } = 2a

 \sqrt{ x^2-2xc+c^2+y^2 }- \sqrt{ x^2+2xc+c^2+y^2 } = 2a

\sqrt{ x^2-2xc+c^2+y^2 }= 2a + \sqrt{ x^2+2xc+c^2+y^2 } , Ahora elevamos los dos lados al cuadrado.

x^2-2xc+c^2+y^2=4a^2+4a\sqrt{x^2+2xc+c^2+y^2}+ x^2+2xc+c^2+y^2

Como podemos notar, ahora se simplifica la expresión eliminado algunos términos.

-4xc-4a^2=4a\sqrt{x^2+2xc+c^2+y^2} , dividimos dentro de 4.

-xc-a^2=a\sqrt{x^2+2xc+c^2+y^2} , de nuevo elevamos todo al cuadrado.

x^2c^2+2a^2xc+a^4=a^2(x^2+2xc+c^2+y^2)

x^2c^2+2a^2xc+a^4=a^2x^2+2a^2xc+a^2c^2+a^2y^2

x^2c^2+a^4=a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2 , ahora pasamos todos los x's y y's a la derecha y los demás a la izquierda.

x^2c^2-x^2a^2-a^2y^2=a^2c^2-a^4

 x^2( c^2 - a^2 )- a^2y^2 = a^2( c^2 - a^2 )

Recordemos que c^2 = a^2 + b^2  \Rightarrow b^2 = c^2-a^2

x^2b^2- a^2y^2 = a^2b^2 , dividimos todo entre (a^2 * b^2)

\frac {x^2}{a^2} - \frac {y^2}{b^2} = 1 , y esta es la ecuación de la hipérbola.


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