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La circunferencia

De por WikiMatematica.org


http://youtu.be/UVC5SC6lJPw

Una circunferencia, analíticamente, es una ecuación de segundo grado con dos variables. Ahora bien, no toda ecuación de este tipo representa siempre una circunferencia; solo en determinadas ocasiones es cierto. Una circunferencia queda completamente determinada si se conocen su centro y su radio. También se puede tomar como verdadero que la distancia desde el centro a cualquier punto en la circunferencia es la misma, siendo esta el radio de la ecuación.

La circunferencia es un contorno continuamente curvado, cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto central, llamado centro del círculo. La distancia constante de cualquier punto de la circunferencia se denomina radio.

Contenido

Definición de circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de un punto de coordenadas (x,y) que se mueve sobre un plano, de manera que su distancia permanece constante con relación a un punto fijo de coordenadas (h,k).

El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante es el radio (r).

 r^2=(x-h)^2 + (y-k)^2 Se le llama forma reducida o forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia

circulo con radio 5

Circunferencia reducida.jpg

Si el centro de la circunferencia esta en el origen de los ejes de coordenada, la ecuación anterior se reduce a

 r^2= x^2 + y ^2 Se llama forma canónica de la circunferencia con centro en el origen.

Circunferencia canonica.jpg

Tenemos un caso especial en la circunferencia y esto es cuando su radio r = 1 , en este caso llamaremos a la circunferencia " circunferencia unitaria " y tiene la ecuación:  1= x^2 + y ^2

Forma General de la Ecuación de la Circunferencia

Si desarrollamos la forma reducida de la ecuación de la circunferencia r^2 = (x - h)^2 + (y - k)^2 obtenemos la forma general de la
ecuación de la circunferencia
:

 x^2- 2xh + h^2 + y^2 - 2yk + k^2 - r^2 = 0

Si en la expresión anterior, sustituimos;

D = -2h

E = -2k

F = h^2+k^2-r^2

Podemos escribir la ecuación de la siguiente forma:

x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 Forma general de la ecuación de la circunferencia.

La condición característica que distingue la circunferencia de las otras 4 curvas es que sus términos cuadráticos x^2, y^2 tienen igual
coeficiente
. Además, la ecuación de la circunferencia nunca tendrá el termino Bxy que en algunos casos lo tienen las otras curvas.

Radio

Sea "C" (a, b) el centro de la circunferencia, r el radio y P(x,y) un punto de la misma. d(C,P) = r

 \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}} = r

Elevando toda la expresión al cuadrado obtenemos:

(x-a)^{2}+(y-b)^{2} = r^{2}

Ejemplos

Ejemplo 1

Determine la ecuación de la circunferencia con centro en (2,-3) y radio 4

 4^2 = [x - 2]^2 + [y - (-3)]^2

Sol. (x-2)^2+ (y+3)^2= 16

 16 = (x-2)^2 + (y+3)^2

Ej1c.png

Ejemplo 2

Determine la ecuación de la circunferencia con centro en (-1,2) y que pasa por el punto (3,4)

Determinamos el radio, sustituimos en

d = \sqrt{(X2 - X1)^2 + (Y2 - Y1)^2}

Sol.(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 20

d = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (4 - 2)^2}

d = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20}

radio = \sqrt{20}

Calculamos el radio, sustituimos

\sqrt{20} = [x - (-1)]^2 + (y - 2)^2

20 = (x+1)^2 + (y - 2)^2

Ej2c.png

Ejemplo 3

Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en el foco de la parábola \frac{1}{16}x^{2} y de radio 5.

Datos de la parábola.

c(0,0)

4p=16

p=4

F(0,4)

Datos de la Circunferencia.

c(0,4)

r=5

x^{2}+(y-4)^{2}=25
Ej3c.png

Ejemplo 4

Encuentre la ecuación del círculo que satisfaga las condiciones dadas.
Los extremos del diámetro en P(-1,3) y Q(7,-5)
calculamos el punto medio de los 2 puntos.
 \left ( \frac{-1+7}{2},\frac{3-5}{2} \right )=\left ( 3,1 \right )
con esto también encontramos el centro de la circunferencia que esta en el punto (3,1).
ahora para encontrar el radio, lo hacemos sacando la distancia entre el centro y uno de los puntos dados
  D_a_b=\sqrt{(-5-3)^{2}+(7-(-1))^{2}}
  D_a_b=\sqrt{(8)^{2}+(8)^{2}}
  D_a_b=\sqrt{(128} = 32
La ecuación quedaría   (x-3)^{2}+(y+1)^{2}=32
Ej4c.png

Ejemplo 5

Encuentre la ecuación del circulo que se muestra en la figura
C1.JPG
Solución: podemos ver que el centro se encuentra en el punto:

 c(-2,2)
para encontrar el radio medimos del centro para un punto que se distinguía fácilmente en esta caso usaremos el P(0,2)
y obtenemos que el radio es:
 r=2
Escribimos la ecuación,  (x+2)^{2}+(y-2)^{2}=4


Ejemplo 6

Encuentre la ecuación del círculo que se muestra en la figura
C2.JPG
Solución:

centro en:
 c(-1,1)
radio usando de referencia P(2,1)
 r=3
Escribimos la ecuación,  (x+1)^{2}+(y-1)^{2}=9


Ejemplo 7

Determine la ecuación de la circunferencia en su forma reducida y en su forma general, con los siguientes datos:centro  (-1,2) y
radio 3
Ej7c.png

r^2 = (x - h)^2 + (y - k)^2

Sol. Forma reducida:(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9
9 = (x + 2)^2 + (y - 1)^2

Forma general: x^2 + y^2 + 4x -2y -4 = 0

 x^2 + 4x + 4 + y^2 -2y + 1 - 9 = 0
x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0

Ejemplo 8

Demostrar que la ecuación representa un círculo y determinar el centro y el radio del mismo.


  • x^2 + y^2 - 4x +6y - 36 = 0


x^2 -4x+y^2+6y=36

completando cuadrados...


(x^2 - 4x + 4) + ( y^2 + 6y + 9) = 36 + 4 + 9


(x-2)^2 + (y + 3)^2 = 49


Entonces, obtenemos que el centro está en (2,-3) y r=7

Si graficamos la circunferencia se vería de la siguiente manera

Circ ej.jpg


Ejemplo 9

  • 2x^2 + 2y^2 - 12x +4y - 15 = 0


2x^2  - 12x + 2y^2 + 4y  = 15 || *(\frac{1}{2})


x^2 -6x + y^2 6 2y = \frac{15}{2}


(x^2 - 6x + 9) + (y^2 +2y+1) = \frac{15}{2} + 9 + 1


(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = \frac{35}{2}


Entonces, obtenemos que el centro está en (3,-1) y r= \sqrt{\frac{35}{2}}

Graficando nos damos cuenta que nuestros resultados con correctos

Circ ej2.jpg


Ejemplo 10

  • x^2 + y^2 +4x -2y + 5 = 0


x^2 +4x+y^2-2y=-5


(x+2)^2+(y-1)^2=-5 + 4 + 1


(x+2)^2+(y-1)^2=0


Entonces, obtenemos que ésta ecuación no representa una circunferencia, es solamente un punto (-2,1)

Ejercicios

  • Deducir la ecuación de la circunferencia en su forma reducida, que cumpla con las condiciones señaladas.

1. Centro en (0,0), radio 0

Sol.x^2 + y^2 = 0


2. Centro en (2, 0), diámetro 16

Sol.(x - 2)^2 + y^2 = 64



3. Centro en el origen, radio  \sqrt{5}

Sol. x^2+ y^2 = 5


4. Centro en (-2, 1), y pasa por el punto (4,3)

Sol.(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 40


5. Centro en (-3, 2), radio 4

Sol.(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 16


  • Determinar la ecuación de la circunferencia, en su forma reducida, cuyo diámetro es el segmento que une los puntos (-2,1) y

(3,4)

Sol.( x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{5}{2})^2 = \frac{17}{2}


  • Determinar la ecuación de la circunferencia, en su forma reducida, cuyo diametro es el segmento que une los puntos (2,3) y

(4,-1)

Sol.( x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5


  • Calcular la ecuación de la circunferencia , en su forma general, que cumpla con las condiciones que se dan en cada caso.

1. Centro en (-2, 1), radio  \sqrt{5}

Sol.x^2 + y^2 + 4x + 2y = 0


2. Centro en (1,\frac{1}{2}), radio 2

Sol.4x^2 + 4y^2 - 8x + 4y - 11 = 0


  • Determinar la ecuación en su forma general, de las circunferencias que pasan por los puntos que se indican.

1. Los puntos (2,0), (2,2) y (0,4)

Sol.x^2 + y^2 + 2x - 2y - 8 = 0


2. Los puntos (1,2), (-3,4) y (2,3)

Sol.3x^2 + 3y^2 + 2x - 26y + 35 = 0


3. Los puntos (-2,0), (1,3) y (-2,4)

Sol.x^2 + y^2 + 2x - 4y = 0

  • Determinar la forma reducida de las circunferencias

4x^2 + 4y^2 - 8x + 4y -11 = 0

Sol.(x - 1)^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = 4

4x^2 + 4y^2 - 8x - 12y -3 = 0

Sol.(x - 1)^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = 4



  • Resolver la ecuación en su forma reducida, con los datos siguiente.

1. Pasa por (0,2), (1,-3); centro en la recta  x - 3y - 1 = 0

Sol.(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 13


2. Pasa por (1,1), (-4,3); centro en la recta  2x - y + 3 = 0

Sol.(x + \frac{11}{2})^2 + (y + 8)^2 = \frac{493}{4}


  • Determinar la ecuación de la circunferencia, en su forma reducida.

1. Circunferencia tangente a la recta  2x + y - 4 = 0 en el punto (2,0); y centro sobre la recta  x + y - 4 = 0

Sol.(x - \frac{10}{3})^2 + (y - \frac{2}{3})^2 =\frac{20}{9}


  • Determinar la ecuación de la circunferencia, en su forma general.

1. (x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 9

Sol.x^2 + y^2 - 4x - 12y + 31 = 0


2. (x + 4)^2 + y^2 = 45

Sol.x^2 + y^2 - 8x - 29 = 0


  • Calcular las cordenadas de los puntos donde la recta intersecta a la circunferencia. Segun los datos dados.

1. x^2 + y^2 = 10

Sol.(3,1)

x + y =4 (1,3)


2. x^2 + y^2 = 4

Sol.(\sqrt{2}, - \sqrt{2})
x + y =0 (- \sqrt{2},\sqrt{2})


3. x^2 + y^2 -4x +4 = 4

Sol.(0,0)

x + y =0

(2,-2)



  • Determinar la ecuación, en su forma reducida, de las circunferencuas cuyas ecuaciones se indican. Señale las coordenadas del centro y
    radio.

1. x^2 + y^2 - 8x -6y + 12 = 0

Sol. (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 13

Centro: (4,3)

Radio: \sqrt(13)



2. x^2 + y^2 - 2x +8y - 11 = 0

Sol. (x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 28

Centro: (1,-4)

Radio: \sqrt(28)




  • Hallar el centro y el radio de la ecuación

6x^2+6y^2+12x+36y-12=0


6x^2+12x+6y^2+36y=12


Dividir entre 6
x^2+2x+y^2+6y=2


Completar al cuadrado

(x^2+2x+1)+(y^2+6y+9)=2+1+9


(x+1)^2+(y+3)^2=12


Centro= (-1,-3)


Radio=\sqrt{(12)}

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