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La elipse

De por WikiMatematica.org


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Contenido

Definición de una elipse

Una elipse es la colección de todos los puntos del plano en los que la suma de su distancias a dos puntos fijos, se llama "Foco", es constante.

Ejemplo Físico(Vida diaria). A continuación daré un ejemplo físico o de la vida diaria para que usted pueda entender de una forma mas conceptual en que se vasa una elipse. La definición contiene en si una significado "FÍSICO" para el trazo de una elipse. Un ejemplo rápido es agarrando un pedazo de cuerda el tamaño o longitud es la constante. Luego Dos tachuelas que serian los FOCOS Y póngalos en un pedazo de cartón la distancia entre ellos tiene que ser menor que el largo de la cuerda, Ahora junte los extremos de la cuerda a las tachuelas y con la punta de un lápiz tensela. Ya tensa la cuerda, mueva el lápiz alrededor de las tachuelas. Así formamos una elipse, este método de formar elipses son utilizados por gente que se dedica a la construcción.

Dato importante: Los focos estan señalados como F1 y F2, la recta que pasa por los focos se llama "Eje Mayor". El punto medio del segmento de la recta que une a los focos es el centro de la elipse,y la recta que une a los focos es el centro y es perpendicular al eje mayor es el eje menor. Los dos puntos de interseccion de la elipse con el eje mayor son los vertices V1 y V2 de una elipse. La distancia de un vertice al otro es la Longitud del eje mayor: La elipse es simétrica (Definición de simétrica una figura simetrica es aquella que al unir ambas partes coinciden) respecto de su eje mayor respecto de su eje menor y respecto de su centro.

Definiciones: i. Sean F y F’ dos puntos de un plano (F. Se define la ELIPSE de focos F y F’ como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a los focos es constante e igual a 2a (a > 0).

ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F’ y la recta mediatriz del segmento se llaman EJES DE SIMETRÍA DE LA ELIPSE.

iii. El punto de intersección O de los dos ejes de simetría, se llama CENTRO DE LA ELIPSE. Los puntos A’, A, B y B’ se llaman VERTICES DE LA ELIPSE.

El lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias a un punto y una recta fijos es constante recibe el nombre de sección cónica o simplemente cónica.
El punto fijo se llama foco de la cónica, la recta fija directriz y la relación constante excentricidad que, normalmente, se representa por la letra e.
Las secciones cónicas se clasifican en tres categorías, según su forma y propiedades. Estas se establecen de acuerdo con los valores de la excentricidad e.
Si e < 1, la cónica se llama elipse.
Si e = 1, la cónica se llama parábola.
Si e > 1, la cónica se llama hipérbola.

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva e igual a la distancia entre los vértices. En otras palabras, la elipse es la colección de todos los puntos del plano en los que la suma de su distancia a dos puntos fijos, se llama foco y es constante.

La recta que pasa por los focos de la elipse\, {F_1} y \, {F_2} se llama eje mayor, el punto medio de la recta que une a los focos se llama centro de la elipse y la recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje mayor es el eje menor.

Elementos de una elipse

Elipse2.png

La elipse posee un «eje mayor», trazo AB (que equivale a \, {2a} ), y un «eje menor», trazo CD; la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de «semieje», de tal manera que se los denomina «semieje mayor» y «semieje menor», respectivamente.

Sobre el «eje mayor» existen dos puntos \, {F_1} y \, {F_2} que se llaman «focos» y los vértices mayores, los cuales son las intersecciones de la elipse con dicho eje .


Excentricidad de una elipse

La excentricidad de una elipse es la razon entre su semidistancia focal, denominada por la letra 'c', y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

   e=\frac {distancia del centro al foco} {distancia del centro al vertice}
   e=\frac{c}{a}= \sqrt{\frac{a^2-b^2}{a}
   e=\frac{c}{a} , con (0 < e < 1) 


Dado que c = \sqrt{a^2-b^2} ,/ también vale la relación:


   e=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}} =\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2}


La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.

Ecuaciones de la elipse

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

    \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x1, y1), la ecuación es:

    \frac{(x-x_1)^2}{a^2}+\frac{(y-y_1)^2}{b^2} = 1

El eje donde abre la elipse dependerá en donde se encuentre{a^2}, es decir el mayor de los denominadores.

Ecuación de la forma general de la elipse

Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0

--Jorgetr 01:49 26 jul 2009 (UTC)

Área interior de una elipse

El área de la superficie interior de una elipse es:

    \acute{A} rea=\pi \cdot a \cdot b

Siendo a y b los semiejes.

Perímetro de una elipse

La aproximación del perímetro de la superficie interior de una elipse es:

    P \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,

Siendo a y b los semiejes.

Ejemplos

Ejemplo #1

Analizar la siguiente ecuación:   25x^{2}+4y^{2}-250x-16y+541=0

  25x^{2}-250x+4y^{2}-16y=-541

Factorizamos y complementamos al cuadrado.

  25(x^{2}-10x)+4(y^{2}-4y)=-541

  25(x-5)^{2}+4(y-2)^{2}=-541+625+16

  25(x-5)^{2}+4(y-2)^{2} = 100 \:\: // \:* \frac{1}{100}

  \frac{25(x-5)^{2}}{100}+ \frac{4(y-2)^{2}}{100} = 1

Ecuacion de la elipse.

  \frac{(x-5)^{2}}{4}+ \frac{(y-2)^{2}}{25} = 1 

Obtenemos los datos de la elipse

a=\sqrt{25}=5

b=\sqrt{4}=2

c=\sqrt{25^{2}-4^{2}}=\sqrt{609}

c(5,2)

v_{1}(5,7) \:\:v_{2}(5,-3)

sv_{1}(3,2) \:\:v_{2}(7,2)

f_{1}(5,6.58) \:\: f_{2}(5,-2.58)

\varepsilon =\frac{\sqrt{609}}{5}=4.935

Eje Mayor: 10 \:\: Eje Menor: 4

Con los datos obtenidos podemos graficar la elipse y obtenemos lo siguiente

Elipse ej1.jpg


Ejemplo #2

La Luna gira alrededor de la Tierra siguiendo una órbita elíptica, con la Tierra en uno de sus focos. La excentricidad (<text> \varepsilon =\frac{c}{a}=0 </tex>) es <text> 0.055 </text> y la longitud del eje mayor de esta orbita es de 468,972 millas. ¿Cuál es la distancia mas cercana de la Tierra a la Luna?.



Los datos de la elipse
\varepsilon = 0.055

Eje Mayor: 468,972 \: millas

a=\varepsilon / 2 = 234,486 \: millas

c=\varepsilon * a = 128,96.73 \: millas

b= 221589.27 \: millas


donde b es el eje menor / 2, que es el punto mas cercano entre la Tierra y la Luna.


Ejemplo #3


Diseño de un puente. El arco de un puente es semieliptico, con eje mayor horizontal. la base del arco mide 30ft de un lado y la
parte mas alta del arco mide 10ft arriba de la calzada horizontal, como muestra la figura, encuentre la altura a los
6ft de la base.

EL.JPG

tenemos que la ecuación del elipse quedaría de la siguiente forma.
 \frac{x^{2}}{225}+\frac{y^{2}}{100}=1
nos piden la altura a 6ft de la base, es decir x=6, por lo que podemos sustituir en la ecuación.
 \frac{6^{2}}{225}+\frac{y^{2}}{100}=1
despejamos y para obtener la altura.
\sqrt{[10^{2}(1-\frac{6^{2}}{15^{2}})]}=y
\sqrt{84}=y

y=9.16 ft 



Ejemplo #4

Encuentre en centro, los focos y los vértices

   \frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-1)^2}{9}=1

a^2=25
b^2=9
h=2
k=1

Centro (2,1)

c^2=a^2-b^2

c^2=25-9=16

Focos en
F_1=(2-4,1)= (-2,1)
F_2=(2+4,1)= (6,1)

Vértices en
V_1=(2+5,1)= (7,1)
V_2=(2-5,1)=(-3,1)

Para verificar nuestros resultados nos apoyamos en la grafica de esta elipse

Elipse ej4.jpg




Ejemplo #5

16x^2+9y^2+64x-18y=71 (Primero agrupamos terminos)

16x^2+64x+9y^2-18y=71 (luego complementamos al cuadrado)

16(x^2+4x)+9(y^2-2y)=71 (luego sacamos factor comun)

16(x^2+4x+4-4)+9(y^2-2y+1-1)=71 (complementar al cuadrado)

16[(x+2)^2-4]+9[(y-1)^2-1]=71 (factorizar)

16(x+2)^2-64+9(y-1)^2-9=71 (operar)

16(x+2)^2+9(y-1)^2-73=71

16(x+2)^2+9(y-1)^2=71+73

16(x+2)^2+9(y-1)^2=144

16(x+2)^2+9(y-1)^2=144 (Llevar la ecuacion a la forma general)

(x+2)/9^2/+(y-1)^2/16=1 (Llevar la ecuacion a la forma general)

Con esta fomra ya sabemos hacia donde abre la elipse. Su eje mayor es el eje "Y"

Sabemos q su centro esta en (-2,1)


Conocemos a^2=16, por lo tanto a=4

Conocemos b^2=9, por lo tanto b=3

Conociendo a y conociendo b podemos encontrar c (esto servira para allar los focos)

Conociendo a y conociendo b podemos encontrar c (esto servira para allar los focos)


c^2=a^2-b^2


c= \sqrt {a^2-b^2}

c= \sqrt {16-9}

c= \sqrt {7}

c= Ya teniendo c podemos concluir que:

Vertices = (-2,1\pm 4)


Focos = (-2,1\pm \sqrt{7})


Excentricidad = \sqrt7/4

Y con esta ecuacion se tiene los datos necesarios para graficar esta elipse.


Ejemplo 6

Tenemos la siguiente ecuacion:
4x^2+9y^2-32x-36y+64=0
4x^2-32x+9y^2-36y+64=0 (la ordenamos)
4(x^2-8x  )+9(y^2-4y  )=-64 (sacamos factor comun en los terminos semejantes)
4(x^2-8x+16)+9(y^2-4y+4)=-64+64+36 (hacemos las completaciones al cuadrado)
4(x^2-8x+16)+9(y^2-4y+4)=36 (operamos y queda asi)
4(x-4)^2+9(y-2)^2=36 (factorizamos)
4(x-4)^2/36+9(y-2)^2/36=1 (luego dividimos los dos terminos de la expresion por 36)
(x-4)^2/9+(y-2)^2/4=1 (simplificamos)
Cuando tenemos la ecuacion de esta forma sabemos que a es el mayor de estos y c es la diferencia de a y b de manera que:
a=3 , b= 2 y c=\sqrt{5} o 2.23
Tambien sabemos que el centro de la elipse es C(4,2) y tambien sabemos que la elipse tiene su eje mayor en x
, entonces su foco es F(4\pm \sqrt{5},2) y los vertices sobre el eje mayor son M(4\pm 3,2) y sobre su eje menor son m(4\pm 2,2)

Elipse 6.gif

Ejercicios Elipse


Elipseejer1.png
Elipseejer2.png

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