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La parábola

De por WikiMatematica.org


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Contenido

Definición de parábola

Una parábola es el conjunto de todos los puntos  P en un plano que equidistan(Que están a la misma distancia) de un 
Punto fijo  F(el foco) y una recta fija D(la directriz) que están en el plano.

El punto F se conoce como el foco de la parábola, y la recta D es su Directriz. En consecuencia, una parábola es el conjunto de puntos P Para los que:

                              d(F,d) = d(P,D)

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

El lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias a un punto y una recta fijos es constante, recibe el nombre de sección cónica o simplemente cónica, la cual resulta de la intersección de un cono (circular recto) y un plano.
El punto fijo se llama foco de la cónica, la recta fija directriz y la relación constante excentricidad que, normalmente, se representa por la letra e.
Las secciones cónicas se clasifican en tres categorías, según su forma y propiedades. Estas se establecen de acuerdo con los valores de la excentricidad e.
  • Si e < 1, la cónica se llama elipse.
  • Si e = 1, la cónica se llama parábola.
  • Si e > 1, la cónica se llama hipérbola.

Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz. En otras palabras, la parábola es el conjunto de todos los puntos p del plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco (F) y de una recta fija llamada directriz (D).

La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola "p".

La recta que pasa por el foco (F) y es perpendicular a la directriz (D), se denomina eje de simetría de la parábola. El punto de intersección de la parábola con su eje de simetría se llama vértice (V).

Lado Recto

Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto.

La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.

Ecuación de la Parábola

Con despeje en Y:

En esta gráfica muestra como la parábola abre en el eje de las x, a causa de la y esta elevada al cuadrado, al ser signo positivo ó signo negativo la respuesta siempre va a dar positivo haciendo que la parábola abra para la derecha.

Parabola que abre en el eje de las x

Con despeje en X:

En esta gráfica muestra como la parábola abre en el eje de las y, a causa de que la x esta elevada al cuadrado, al ser signo positivo ó signo negativo la respuesta siempre va a dar positivo haciendo que la parábola siempre abra para arriba.

Parabola que abre en el eje de las y


con foco en el eje X:

y^{2} = 2px

con foco en el eje Y:

x^{2} = 2py


  • Demostración:

La directriz es una recta vertical "d" de una ecuación x = - \frac{P}{2} lo igualamos a "0" y nos queda x + \frac{P}{2} = 0

Dado un punto P(x,y) del plano, su distancia al foco es d(P,F)=\sqrt {(x-\frac{P}{2})^{2}+y^{2}}

Ahora debemos igualar las ecuaciones: (x + \frac{P}{2}) = \sqrt {(x-\frac{P}{2})^{2}+y^{2}}


elevando todo al cuadrado nos da (x + \frac{P}{2})^{2} =  {(x-\frac{P}{2})^{2}+y^{2}}


desarrollamos x^{2}+px+\frac{p}{4}^{2} = x^{2}-px+\frac{p}{4}^{2}+y^{2}


luego eliminamos px = -px+y^{2}

Determinación de la ecuación de una parábola que cumple condiciones prescritas

(a) Encuentra la ecuación de una parábola que tenga vértice en el origen, abra a la derecha y pase por el punto P(7, -3).

Una ecuación de una parábola con vértice en el origen que abre a la derecha es de forma x = py^2 para algún número p. si P(7, -3) está en la gráfica, entonces podemos sustituir 7 por x y -3 por y para encontrar a:

7 = a(-3)^2, o bien, a = \frac{7}{9}.

Por tanto, una ecuación de la parábola es x = \frac{7}{9}y^2.


(b) Halla el foco de la parábola.

El foco está a una distancia p a la derecha del vértice. Como a = \frac{7}{9}, tenemos:

p = \frac{1}{4a} = \frac{1}{4(\frac{7}{9})} = \frac{9}{28}.

Así, el foco tiene las coordenadas (\frac{9}{28},0). Parabola1.png

Ejemplo # 1

Encontrar el foco y la directriz de y = -1/6x^2 y dibujarla

1/6p = -1/6 = 4p = -6    p = -3/2

Foco = (0,-3/2) Directriz y = 3/2

Parabola2.png


Ejemplo # 2

Parabola.jpg

Parábola con vértice en (h,k)

Si se desplaza una parábola con vértice en el origen h unidades de manera horizontal y luego k unidades de manera vertical, el resultado de esto es una parábola con vértice en (h,k) y eje de simetría paralelo a uno de los ejes coordenados.

Si consideramos una ecuación normal de una parábola (de la forma x^2 = 4py) y sustituimos x por x-h y y por y-k, entonces:

x^2 = 4py se convierte en (x-h)^2 = 4p(y-k).

Ahora el vértice ya no se encuentra en (0,0) si no que se encuentra corrido a (h,k).

Ejemplo # 3

tenemos la ecuación 2x=y^2+8y+22
2x-22+16=y^2+8y+16 (completación al cuadrado)
2x-6=(y+4)^2 (factorizamos y operamos)
2(x-3)^2=(y+4)^2
4P=2
P=2/4
P=1/2

Vértice(3,-4)
Foco = (7/2,-4) Directriz (5/2,-4)

Parabola 3.gif

Ejercicios

Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las siguientes parábolas, indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz

-> 6y^2 - 12x = 0

-> 2y^2 = -7x

Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:

-> De directriz x = -3, de foco (3, 0).

-> De foco (3, 2), de vértice (5, 2).

-> De foco (3, 4), de vértice (1, 4).

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