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La recta

De por WikiMatematica.org


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La recta, o línea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una dimensión y contiene infinitos puntos, se puede representar como un vector; está compuesta de infinitos segmentos. El segmento es el fragmento mas corto de una linea que une dos puntos. La recta también se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, sin mostrar ni principio ni fin. También existe la recta numérica que es de las mismas características pero esta representando el orden de los numero.


Recta.png

Contenido

UNA LINEA RECTA

Analíticamente, es una ecuación lineal o de primer grado en dos variables. Recíprocamente, la representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado en dos variables es una recta.

Una recta queda determinada completamente si se conocen dos condiciones, por ejemplo, dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendiente o coeficiente angular), etc.

La pendiente de una recta corresponde al cambio en Y dividido el cambio en X la cual corresponde a la ecuación: m = \left( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \right).

Cuando la recta se inclina hacia arriba de izquierda a derecha, se dice que esta recta tiene pendiente positiva.
Cuando la recta se inclina hacia abajo de izquierda a derecha , se dice que esta recta tiene pendiente negativa.
Cuando la recta es horizontal , la pendiente de la recta es 0.
Cuando la recta es vertical, la pendiente de la recta no esta definida.


Características de la Recta

  • La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.
  • La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la geometría euclidiana.
  • La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

Ecuaciones de la Recta

Tomados dos puntos de una recta, la pendiente m es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación: m = \left( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \right)

Ecuación General de la Recta

 Ax + By + C = 0

Ecuación de la Recta (vertical)

 x=a

Ecuación de la Recta (horizontal)

 y=b

Ecuación de la Recta (punto-pendiente)

 (y - y_{o})=m(x-x_{o})
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente.
Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas X.

Ejemplo
Hallar la ecuación general de la recta que pasa por el punto A (4, -8) y que tiene una pendiente de 3/2 al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:
y - y_{1})= m(x -x_{1})
y - (-8) = 3/2(x - 4)
2(y + 8) = 3(x - 4)
2y + 16 = 3x -12
2y - 3x + 16 = -12
2y - 3x + 16 + 12 = 0
2y - 3x + 28 = 0

De esta forma hallamos la ecuación general de la recta la cual es de la forma:
Ax + By + C = 0

Ecuación de la Recta (pendiente-intersección)

Si se conoce m (pendiente) , y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación punto pendiente de la recta,  (y - y_{o})=m(x-x_{o}):

(y - b) = m(x - 0)
y - b = mx
y = mx + b
Esta es la ecuación de la recta pendiente-intersección o pendiente intercepto.
Se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Solución para problemas en que la Recta pasa por un punto

Save.png

Determinar las rectas del plano que pasan por el punto (x0,y0).

La ecuación de la recta ha de ser, como ya se sabe:

   y = m x + b \,

Y ha de pasar por el punto (x0,y0), luego tendrá que cumplirse:

   y_0 = m x_0 + b \,

Despejando b, tenemos esta ecuación:

   b= y_0 - m x_0 \,

Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:

    y = m x + (y_0 - m x_0) \,

Ordenando términos:

   y = m (x- x_0) + y_0 \,

Esta ecuación define un haz de rectas en el plano que pasa por el punto (x0,y0), el valor de m es la pendiente de cada una de las rectas que forman parte del haz, m puede tomar un valor real cualesquiera.


Distancia entre puntos

   \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}


- Esta ecuación parte de tener dos puntos cualesquiera en el plano, llamándoles (x1, y1) y (x2, y2) la cual es una aplicación del teorema de Pitágoras siendo la distancia entre los puntos de cada uno de sus respectivos ejes los catetos, y la hipotenusa la distancia final.

- La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d = P1P2, entre valor absoluto esta dada por:


Formula1.gif

Demostración:

Demostracion.gif

--Alwaysjh 08:06 18 may 2010 (CST)

Punto Medio de una recta

   \left (\frac{x_1+x_2}{2} ,\frac{y_1+y_2}{2} \right )


Rectas Paralelas


Son Paralelas al eje cuando ambas rectas tienen la misma pendiente

m_{1}=m_{2}


Rectas Perpendiculares


Son Perpendiculares entre ellas cuando el producto de ambas pendientes es -1

m_{1} * m_{2}=-1


Angulo entre Rectas


\theta =\tan^{-1} \left ( \frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{2}m_{1}} \right )


--Jorgetr 04:35 26 jul 2009 (UTC)

Mediatríz


La mediatríz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en el punto medio

Los puntos de la mediatríz están a igual distancia de los extremos del segmento.

Distancia PA = Distancia PB


Problemas Resueltos

Ejemplo #1


Encontrar la ecuación de la mediatríz del segmento formado por los puntos A(4,2) y B(-2,10).

A(4,2)

B(-2,10)

Distancia PA = Distancia PB

\sqrt{(x-4)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{(x+2)^{2}+(y-10)^{2}} \:\:\: ()^{2}

(x-4)^{2}+(y-2)^{2}=(x+2)^{2}+(y-10)^{2}

(x^{2}-8x+16+(y^{2}-4y+4)=(x^{2}+4x+4)+(y^{2}-20y+100)

-12x+16y-84=0

Ej2recta.png

Ejemplo #2

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0,0) y (1,k)

Calculamos la pendiente. m = \left( \frac{k - 0}{1 - 0} \right)

m = k)

Ahora aplicamos la ecuación de la recta  (y - y_{o})=m(x-x_{o})+b sustituyendo los valores que tenemos

 (y - 0)=k(x-0)+b

 y = kx+b tomamos cualquier punto y lo evaluamos para hallar el valor de b

 0= k0+b

 b = 0por lo tanto la ecuación de la recta es

 y = kx


Ejemplo #3

encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto A( -1, 3) y es paralela a la recta 2y -6x = 10

procedimiento:

2y -6y = 10

2y = 10 + 6x

y= \frac{10 + 6x}{2}

 y = 5 +3x

Y = 3x + 5


luego utilizamos la ecuación general de la recta y llegamos a :

 (y - y_{o})=m(x-x_{o})

 y - 3 = 3(x + 1)

y = 3x + 3 + 3


la ecuación de la recta que pasa por ese punto es:


y = 3x + 6

Pendiente = 3

intersección con el eje Y = (0,6) "hacemos cero a x"

intersección con el eje x = (-2,0) "hacemos cero a y"

Recta 4.png

Ejemplo #4

Halle la ecuación de la recta que pasa por (-2,4) y es paralela a x+3y-2=0 3y=-x+2
y=(-1/3)x+2/3
utilizamos la ecuación general de la recta :

 (y - y_{o})=m(x-x_{o})

(y-4)=(-1/3)x-2/3
la ecuación de la recta que pasa por ese punto es:

y=(-1/3)x+10/3

Recta 5.png

Ejemplo #5

Halle la ecuación de la recta que pasa por (-2,5) y es perpendicular a 2x+3y-4=0
3y=-2x+4
y=-\tfrac{2}{3}x+4/3
utilizamos la ecuacion general de la recta :

 (y - y_{o})=m(x-x_{o})
la pendiente de una recta perpendicular a ella es el reciproco negativo
(y-5)=\tfrac{3}{2}x+3
la ecuacion de la recta que pasa por ese punto es:

y=\tfrac{3}{2}x+8

2y=3x+16

2y-3x-16=0

Recta 6.png

Ejemplo #6

Encontrar la equacion de la recta que pasa por x el punto P(5,-7) en la recta que es paralela a 6x+3y=4
6x+3y=4
3y=-6x+4
y=-2x+4/3 tenemos que la pendiente es paralela a m=-2

y=mx+b
b=y-mx
b= -7-(-2(5))
b= 3
Ej7recta.png


Ejemplo #7

Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (3,2),(4,3)

Primero encontramos el valor de la pendiente:

m=\frac{\Delta y}{\Delta x}

Entonces: m=\frac{3-2}{4-3}= \frac{1}{1}=1

Ya que tenemos el valor de nuestra pendiente introducimos los valores en la ecuacion de la recta

(y - y_{o})=m(x-x_{o})

y-2=1(x-3)

y = x - 3 + 2

y = x - 1

Aca llegamos a nuestra respuesta y podemos ver un grafico de ella

Save.png

Ejemplo #8

Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (5,1),(8,3)

Primero encontramos el valor de la pendiente:

m=\frac{\Delta y}{\Delta x}

Entonces: m=\frac{3-1}{8-5}= \frac{2}{3}

Ya que tenemos el valor de nuestra pendiente introducimos los valores en la ecuacion de la recta

(y - y_{o})=m(x-x_{o})

y-3=\frac{2}{3}(x-8)

y -3= \frac{2}{3}x-\frac{16}{3}

y = \frac{2}{3}x-\frac{16}{3}+3


y = \frac{2}{3}x-2.33

Aca llegamos a nuestra respuesta y podemos ver un grafico de ella

Save(2).png

Ejemplo #9

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 3) y B (-2, 1). Determine el intercepto de la recta con el eje y.

Pizza recta2.gif

Soluciones de Rectas



Recta ec.png

Recta ec2.png


Ejemplo #10

Del segmento formado por los puntos A(5,2) y B(-2,12), encontrar la mediatriz

 PM\left (\frac{x_2+x_1}{2} ,\frac{y_2+y_1}{2} \right )

 PM\left (\frac{-2+5}{2} ,\frac{12+2}{2} \right )

 PM\left (\frac {3}{2} , 7 \right )

 m= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \frac {10}{-7}

 m= {-1/-10/7}= \frac {7}{10}

Forma punto-pendiente de la mediatriz del segmento

y-y_1 = m (x-x_1)

Respuesta

y-7 = \frac {7}{10} (x-\frac {3}{2})

Recta 10.gif


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