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Limites y continuidad de funciones de dos variables

De por WikiMatematica.org


http://youtu.be/d4nJb51N_L4

Contenido

Límite de una función de dos variables

Definición

Sea f una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en (x_0,y_0), excepto quizás en el punto (x_0,y_0), y sea L un número real. Entonces,

\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=L

si para cada \varepsilon > 0 existe un \delta > 0 tal que

\left | f(x,y)-L \right | < \varepsilon siempre que 0< \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}< \delta

Gráficamente, esta definición de límite implica que para cualquier punto (x,y)\neq(x_0,y_0) en el disco de radio \delta, el valor de f(x,y) esta entre L+\varepsilon y L-\varepsilon.

Limite-2var-def.jpg
Tray-lim-2d.jpg



Para funciones de una sola variable, cuando dejamos que x se aproxime a a, sólo hay dos posibles direcciones de acercamiento, por la izquierda o por la derecha. Que podemos ver por aquí Límite de una función de una variable. Para funciones de dos variables, la situación no es tan sencilla, puesto que podemos dejar que (x, y) se aproxime a (x_0,y_0) desde un número infinito de direcciones y de cualesquiera formas.
La definición anterior se refiere sólo a la distancia entre (x, y) y (x_0,y_0). No habla a la dirección de aproximación. Por eso, si el límite existe, entonces f(x,y) debe aproximarse a mismo límite, sin importar la forma en que (x, y) se aproxime a (x_0, y_0). Así pues, si podemos encontrar dos diferentes trayectorias de acercamiento a lo largo de las cuales f(x,y) tiene distintos límites, entonces se concluye que el límite no existe.

Si f(x,y) \to L_1 conforme (x,y) \to (x_0,y_0) a lo largo de una trayectoria C_1 y f(x,y) \to L_2 conforme (x,y) \to (x_0,y_0) a lo largo de una trayectoria C_2 ,donde L_1 \neq L_2, entonces el límite no existe.

Ejemplo # 1

  • \lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)= \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} - y^{2}}, Existe?


Proponemos:  y = 0

\lim_{x\to 0}\frac{x^{2} + 0}{x^{2} - 0} = \lim_{x\to 0}\frac{x^{2}}{x^{2}} = 1

Ahora proponemos:  x = 0

\lim_{y\to 0}\frac{0 + y^{2}}{0 - y^{2}} = \lim_{y\to 0}\frac{y^{2}}{-y^{2}} = -1

\therefore El limite no existe.

Ejemplo # 2

En este caso probamos con la ecuacion de la recta, ya que con esta ecuación podemos ver de forma general si existe o no el liminte, ya que la ecuación de la recta es todos los puntos por donde pasa la recta en una circunferencia.

  • \lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)= \frac{x * y}{x^{2} + y^{2}} Existe?



Proponemos: y = 0

\lim_{(x)\to (0)}f(x,y)= \frac{x * 0}{x^{2} + 0} = 0

Proponemos: y = 0

\lim_{(y)\to (0)}f(x,y)= \frac{0 * y}{ 0 + y^{2}} = 0

Proponemos: y = mx

\lim_{x\to 0}= \frac{x * (mx)}{x^{2} + (mx)^{2}} = \lim_{x\to 0}= \frac{x^2 * m}{x^{2} + m^(2) * x^{2}} =
\lim_{x\to 0}= \frac{x^2 * m}{x^{2}* (1 + m^(2)} = \frac{m}{(m)^{2} + 1}

m puedes ser cualquier numero que pertenece alos reales, por lo tanto \frac{m}{(m)^{2} + 1} ≠ 0

\therefore El limite no existe.

Ejemplo # 3

  • \lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)= \frac{2x^{2}y}{x^{4} + y^{2}}, Existe?

Proponemos:  y = 0

\lim_{x\to 0}  \frac{0}{x^{4}} = 0

Ahora proponemos:  x = 0

\lim_{y\to 0}  \frac{0}{y^{2}} = 0

Ahora proponemos:  y = x

\lim_{x\to 0}  \frac{2x^{2}x}{x^{4} + x^{2}} = 0

Ahora proponemos:  y = x^{2}

\lim_{x\to 0}  \frac{2x^{2}x^{2}}{x^{4} + x^{4}} = 1


\therefore El limite no existe.

Ejemplo # 4

  • \lim_{(x,y)\to (6,3)}f(x,y)= xy cos(x-2y), Existe?


(6) (3) cos (6-6) = 18


\therefore El limite si existe.

Ejemplo # 5

  • \lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)= \frac{xy^{2}}{x^{2} + y^{4}}, Existe?

Proponemos:  y = 0

\lim_{x\to 0}  \frac{0}{x^{2}} = 0

Ahora proponemos:  x = 0

\lim_{y\to 0}  \frac{0}{y^{4}} = 0

Ahora proponemos:  y = mx

\lim_{x\to 0}  \frac{x\left ( mx \right )^{2}}{x^{2} +\left ( mx \right)^{4}} = lim_{x\to 0} \frac{m^{2}x^{3}}{x^{2} +  m^{4}x^{4}}=
lim_{x\to 0}  \frac{x^{2} \left ( m^{2}x \right )}{x^{2} \left (1+ m^{4}x^{2} \right)} =

\lim_{x\to 0}  \frac{ m^{2}x}{1+ m^{4}x^{2}} =0

Ahora proponemos:  y = x^{2}

\lim_{x\to 0}  \frac{x^{5}}{x^{2} + x^{8}} = 0

Ahora proponemos:  x = y^{2}

\lim_{x\to 0}  \frac{y^{4}}{y^{4} + y^{4}} = lim_{x\to 0}  \frac{y^{4}}{2y^{4} } = \frac{1}{2}

\therefore El limite no existe.

--Juliocm 22:02 30 jul 2010 (CST)


Ejemplo # 6

  • \lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)= \frac{x^{2} + \sin ^{2} y}{2x^{2} + y^{2}}, Existe?

Proponemos:  y = 0

\lim_{x\to 0}  \frac{x^{2} + \sin ^{2} \left ( 0 \right )}{2x^{2}} =  lim_{x\to 0}  \frac{x^{2}}{2x^{2}} =  lim_{x\to 0}  \frac{2x}{4x} =  lim_{x\to 0}  \frac{2}{4} \therefore lim_{(x)\to (0)}f(x,y)= \frac{x^{2} + \sin ^{2} 0}{2x^{2}} = \frac{1}{2}

Ahora proponemos:  x = 0

\lim_{x\to 0}  \frac{\sin ^{2} \left ( y \right )}{y^{2}} =  lim_{x\to 0}  \frac{2\sin \left ( y \right )\cos \left ( y \right )}{2y} =  lim_{x\to 0}  \frac{4\cos^{2}\left ( y \right )-2 }{2} =  \lim_{x\to 0}  \frac{4-2}{2} = 1

\therefore El limite no existe.

--Juliocm 22:39 30 jul 2010 (CST)

Ejemplo # 7

  • \lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)= \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}, Existe?


Proponemos:  y = 0

\lim_{y\to 0} \frac{x^{2}}{x^{2} + 0} = \lim_{y\to 0}  \frac{x^{2}}{x^{2}}= 1

Ahora proponemos:  x = 0

\lim_{x\to 0} \frac{0}{0 + y^{2} } = \lim_{x\to 0}  \frac{0}{y^{2}}= 0

\therefore El limite no existe. --Harry 22 08:02 31 jul 2010 (CST)

Ejemplo # 8

  • \lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)= \frac{x * y}{x + y}}, Existe?


Proponemos:  y = 0

\lim_{y\to 0} \frac{x * (0)}{x + 0} = \lim_{y\to 0} \frac{0}{x}= 0

Ahora proponemos:  x = 0

\lim_{x\to 0} \frac{(0)* y}{0 + y} = \lim_{x\to 0}  \frac{0}{y}= 0

Ahora proponemos:  y = mx

\lim_{x\to 0} \frac{x * (mx)}{x + mx} = \lim_{x\to 0}  \frac{x * (mx)}{x * (1 + m)}= \lim_{x\to 0}  \frac{0)}{2}= 0

Ahora proponemos:  x = y^{2}

\lim_{y\to 0} \frac{y^{2} * y}{ y^{2} + y} = \lim_{x\to 0}  \frac{y^{3}}{y^{2} + y}= 0

Ahora proponemos:  y = x^{2}

\lim_{x\to 0} \frac{x * x^{2}}{x + x^{2}} = \lim_{x\to 0}  \frac{x^{3}}{x + x^{2}}= 0

\therefore Posiblemente el limite tiende a 0, no se puede determinar con certeza si tiende a 0, porque no se han evaluado todos los puntos.

--Harry 22 09:00 31 jul 2010 (CST)

Ejemplo # 9

  • \lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)= \frac{sin(x * y)}{x * y}}, Existe?


Proponemos:  y = 0

\lim_{(x)\to (0)}f(x,y)= \frac{sin(x * 0)}{x * 0}} = indefinido

Proponemos:  x = 0

\lim_{(y)\to (0)}f(x,y)= \frac{sin(0 * y)}{0 * y}} = indefinido

Proponemos:  y = x

\lim_{(x)\to (0)}f(x,y)= \frac{sin(x * x)}{x * x}} = 1

Proponemos:  y = mx

\lim_{(x)\to (0)}f(x,y)= \frac{sin(x * m*x)}{x * m*x}} = 1

Proponemos:  y = x^{2}

\lim_{(x)\to (0)}f(x,y)= \frac{sin(x * x^{2}))}{x * x^{2}}} = \lim_{(x)\to (0)}f(x,y)= \frac{sin(x^{3})}{x^{3}}} = 1

Proponemos:  x = y^{2}

\lim_{(y)\to (0)}f(x,y)= \frac{sin(y^{2} * y))}{y^{2} * y}} = \lim_{(y)\to (0)}f(x,y)= \frac{sin(y^{3})}{y^{3}}} = 1

\therefore Posiblemente el limite tiende a 1, no se puede determinar con certeza si tiende a 1, porque no se han evaluado todos los puntos.

--Harry 22 19:51 30 ago 2010 (CST)

Ejemplo # 10

  • \lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)= \frac{sin(x^{2} * y^{2})}{x^{2} +y^{2}}}, Existe?


Proponemos:  y = 0

\lim_{(x)\to (0)}f(x,y)= \frac{sin(x^{2} * 0)}{x^{2} + 0}} = 1

Proponemos : x = 0

\lim_{(y)\to (0)}f(x,y)= \frac{sin(0* y^{2})}{0 + y^{2}}} = 1

Proponemos : y = mx

\lim_{(x)\to (0)}f(x,y)= \frac{sin(x^{2}+ mx)}{x^{2} + mx}} = \lim_{(x)\to (0)}f(x,y)= \frac{sin(x * (x + m))}{x * (m  + x)} = 1

Proponemos: y = x^{2}

\lim_{(x)\to (0)}f(x,y)= \frac{sin(x^{2}+ (x^{2})^{2})}{x^{2} + (x^{2})^{2})}} = \lim_{(x)\to (0)}f(x,y)= \frac{sin(x^{2}+ x^{4})}{x^{2} + x^{4}} = 1

Proponemos: x = y^{2}

\lim_{(x)\to (0)}f(x,y)= \frac{sin((y^{2})^{2}) + y^{2}}{(y^{2})^{2}) + y^{2}} = \lim_{(x)\to (0)}f(x,y)= \frac{sin(y^{4}+ y^{2})}{y^{4} + y^{2}} = 1

\therefore Posiblemente el limite tiende a 1, no se puede determinar con certeza si tiende a 1, porque no se han evaluado todos los puntos.

--Harry 22 19:51 30 ago 2010 (CST)

Ejemplo # 11

Demostrar si el limite existe o no exitste: \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2}{x^2+y^2}

Hacemos x=0;

\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{0}{y^2} = 0

Hacemos y=0;

\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2}{x^2}=1

Dado que no todas las pruebas dan el mismo resultado podemos concluir que el limite no existe.


Ejemplo # 12

Encontrar el límite si exíste, si no probar que no exíste:

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2+y^2}{\;\sqrt{x^2+y^2+1}+1}

Entonces iniciamos por encontrar el límite cuando una de ambas variables es cero. Debemos notar que tanto en el númerador como en la raíz en el denominador el hecho de hacer una de las variables igual a cero, sin importar cual sea, el resultado será el mismo. Por esta razón haremos el análisis para una sola variable.

Para x=0: \lim_{y\to 0}\frac{y^2}{\;\sqrt{y^2+1}+1}

Usando L'Hôpital y con algo de algebra tenemos: \lim_{y\to 0}2\sqrt{y^2+1}=2}

Intentando encontrar que el límite no exíste hacemos otra prueba mas con y=x:

\lim_{x\to 0}\frac{2x^2}{\;\sqrt{2x^2+1}+1} L'Hôpital

\lim_{x\to 0}{2\sqrt{2x^2+1}}=2

Otro intento mas con y=x^2

\lim_{x\to 0}\frac{x^2+x^4}{\;\sqrt{x^2+x^4+1}+1} L'Hôpital

\lim_{x\to 0}{2\sqrt{2x^2+1}}=2

\therefore El límite tiende posiblemente a 2.

--JoshLpz 12:14 07 nov 2010 (CST)


[[Continuidad]]

Recuerde que la evaluación de límites de funciones continuas de una sola variable es fácil. Se efectúa por sustitución directa porque la propiedad de definición de una función continua es lim x->a f(x) = f(a). Las funciones continuas de dos variables también están definidas por la propiedad de sustitución directa.

Definición:

Una función f de dos variables se denomina continua en (a, b) si

Lim f(x,y) = f (a, b)
(x,y) -> (a,b)
Decimos que f es continua en D si f es continua en todo punto (a, b) de D

El significado intuitivo de continuidad es que si el punto (x,y) cambia en una pequeña cantidad, entonces el valor de f(x,y) cambia en una pequeña cantidad. Esto significa que si una superficie es la grafica de una función continua entonces no tiene ni huecos ni rupturas.

Con el uso de las propiedades de los limites, es posible ver que las sumas, diferencias, productos y cocientes de funciones continuas son continuas en sus dominios.

Una función polinomial de dos variables (o, para abreviar, un polinomio), es una suma de términos de la forma cx “y”, donde c es una constante y m y n son enteros no negativos. Una función racional es la razón de dos polinomios. Por ejemplo,

    f(x,y) = \ x^4+5x^3y^2+6xy^4-7y+6


es un polinomio mientras que

g(x,y) = \frac{2xy + 1}{\;\ x^2+y^2} 


Los limites muestran que las funciones f(x,y)=x, g(x,y)= y, y h(x,y) = c son continuas. Como cualquier polinomio puede ser obtenido a parten de las funciones simples f, g y h por multiplicación y suma, llegamos a que todos los polinomios son continuas en R. Del mismo modo, cualquier función racional es continua en su dominio porque es cociente de funciones continuas.

Ejemplo # 13

Evalué \lim_{(x,y)\to (1,2)}{(x^2y^3 - x^3y^2 + 3x + 2y)}

Solución, Como f(x,y)={x^2y^3 - x^3y^2 + 3x + 2y} es un polinomio, es continuo en todas partes, de modo que podemos hallar el limite por sustitución directa: \lim_{(x,y)\to (1,2)}{(x^2y^3 - x^3y^2 + 3x + 2y)} = 1^2.2^3 -1^3.2^2 + 3.1 + 2.2 = 11

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