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Longitud de arco

De por WikiMatematica.org


¿Qué se entiende cuando se habla de longitud de una curva?. Necesitamos una definición precisa para la longitud de un arco de curva, en los mismos terminos en que desarrollamos los conceptos de área y de volumen.

Si la curva es un polígono, es fácil determinar su longitud; simplemente sumamos las longitudes de todos los segmentos de recta que forman el polígono. (Para la distancia entre los extremos de cada segmento podemos usar la fórmula conocida de distancia.) Vamos a definir la longitud de una curva general apróximandola con un polígono y entonces tomando un límite cuando el número de segmentos del polígono aumenta, Este proceso es bien conocido para el caso de la circunferencia, en el que la circunferencia es el límite de las longitudes de los polígonos inscritos.

Supongamos ahora que una curva C ha sido definida por medio de la ecuacion y=f(x) , donde f es continua en a\leq x\leq b. Obtenemos una aproximación poligonal a C dividiendo el intervalo [a,b] en n subintervalos con los extremos x_o,x_1,......x_n y todos de la misma longitud \Delta x. Si y_i=f(x_1) , entonces, el punto P_i(X_i,Y_i) está en la curva C y el polígono con vértices P_o,P_1,......,P_n, . La longitud de L de C es aproximadamente igual a la longitud de este polígono y la aproximación es mejor cuando crece n . Por lo anterior, definimos la longitud, L, de la curva C, cuya ecuación es y=f(x), a\leq x\leq b, como igual al límite de la suma de las longitudes de esos polígonos inscritos (si existe el límite):

L=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}\left | P_i-P_{i-1} \right |

Observará que el procedimiento para definir la longitud del arco se parece mucho al empleamos al definir el área y el volúmen. Dividimos la curva en un gran número de partes pequeñas. Luego calculamos las longitudes aproximadas de las partes pequeñas para después sumarlas. Por último sacamos el limite cuando n\to \infty .

La definición de longitud de arco, expresada por la ecuación 1, no es muy cómoda para fines de cómputo, pero podemos deducir una fórmula integral a fin de calcular L en el caso en que f tenga una derivada continua. Una función así, se denomina función lisa o función suave, porque el cambio de x origina una pequeña alteración de {f}'(x).

Con \Delta y_i=y_i , entonces

\left | P_i-1P_i \right |= \sqrt{(x_i-x_i_-_1)^2+(y_i-y_i_-_1)^2}= \sqrt{(\Delta x)^2 +(\Delta y)^2}

Al aplicar el teorema del valor medio a f , en el intervalo \left [ x_i_-_1,x_i \right ] , vemos que hay un número, x_i^* entre x_i_-_1 y x_i tal que


f(x_i)-f(x_i_-_1)={f}'(x^*_i)(x_i-x_i_-_1) \Delta y_i={f}'(x^*_i)\Delta x esto es , Por consiguiente, \left | p_i_-_1p_i \right |= \sqrt{(\Delta x)^2 +(\Delta y_i)^2} = \sqrt{(\Delta x)^2 \left [ {f}'{(x^*_i)\Delta x}' \right ]^2} =\sqrt{1+\left [ {f}'(x_i^*) \right ]^2}\sqrt{(\Delta x)^2} =\sqrt{1+\left [ {f}'(x_i^*) \right ]^2}(\Delta x)^2

Entonces, según la definición 1, L=\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n} \left | p_i_-_1p_i \right |=\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1+\left [ {f}'(x_i^*) \right ]}^2 (\Delta x)

Reconocemos que esta expresión es igual a \int_{a}^{b}\sqrt{1+\left [ {f(x)}' \right ]}^2 dx

de acuerdo con la definición d euna integral definida. ESta integral existe porque la función g(x) =\sqrt{1+\left [ {f}' (x)\right ]}^2dx es continua; por consiguiente, hemos demostrado el teorema siguiente:

2. fórmula de longitud de arco si {f}' es continua en \left [ a,b \right ] , la longitud de la curva y=f(x), a\leq x\leq b , es

L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left [ {f}'(x) \right ]^2}dx

Con la notación de Leibniz de derivadas podemos escribir la fòrmula de la longitud de arco de esta manera:

3.L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left ( dy/dx \right )^2}dx

Contenido

Ejemplo 1

La longitud de arco de la parábola semicúbica, y^2=x^3 entre los puntos (1,1) y (4,8)

solución Para la mitad superior de la curva, y=x^3^/^2 dy/dx=\frac{3}{2}x^1^/^2

así que, con la ecuacion de la longitud de arco,

L=\int_{a}^{b}\sqrt{(dy/dx)^2} dx= \int_{1}^{4}\sqrt{1+\frac{9}{4}x}dx

Si sustituimos u=1+9x/4 , entonces du=9dx/4 . Cuando x=1 , u=\frac{13}{4} ; cuando x=4 , u=10 ; por lo tanto,

L=\frac{4}{9}\int_{\frac{13}{}4}^{10}\sqrt{u}du=\frac{4}{9}*\frac{2}{3}u^3^/^2)^1^0_1_3_/_4

=\frac{8}{27}\left [ 10^\frac{3}{2}-(\frac{13}{4})^\frac{3}{2} \right ]

=\frac{1}{27}(80\sqrt{10}-13\sqrt{13})

Ejemplo 5



y=\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}} en el intervalo de \left [ 1, 8 \right ]


y^{'}=\frac{9}{4}x\frac{1}{2}


\int_{1}^{8}\sqrt{1+(\frac{9}{4}x^{\frac{1}{2}})^{2}}


\int_{1}^{8}\sqrt{1+\frac{81}{16}x}


\int_{1}^{8}(1+\frac{81}{16}x)^{\frac{1}{2}}dx


Integramos por partes


u = 1+\frac{81}{16}x


du=\frac{81}{16}dx


\frac{16}{81}du=dx


\frac{16}{81}u^{\frac{1}{2}}du


Integramos


\frac{32}{81}u^{\frac{3}{2}}


Resolvemos \left [ \frac{32}{81}(1+\frac{81}{16}x)^{\frac{3}{2}}\mid _{1}^{8} \right ]=-44.01

entonces 13,122.39 - 44.01=

13,078.37

Ejemplo 2

Encontrar la longitud de arco para la función dada: y = 1 + 6x^{\frac{3}{2}} para el intervalo de [0,1].

derivamos la función y obtenemos lo siguiente y'= 9x^{\frac{1}{2}} luego por las ecuaciones de longitud de arco obtenemos esto:  \int_{0}^{1}\sqrt{1+(9x^{\frac{1}{2}}})^{2}dx

operamos de la siguiente manera:

 \int_{0}^{1}\sqrt{1+81x} dx hacemos una substitucion:
 u=1+81x
du=81dx
 \frac{1}{81}\int_{1}^{82}u^{\frac{1}{2}} dx sacamos la primitiva y por el Teorema fundamental del calculo:
 \frac{1}{81}\left [ \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}|^{82}_{1} \right ]= 
\frac{1}{81}\left [ \frac{2}{3}(82)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3} \right ] =6.10

la longitud de arco es 6.10




Si la ecuación de una curva es x=g(x) , c\leq y\leq d , y {g}'(y) es continua, al intercambiar los papeles de x y y en la fòrmula 2 o en la ecuación 3, obtendremos la fòrmula siguiente, para calcular su longitud:

4. L=\int_{c}^{d} \sqrt{1+\left [ {g}'(y) \right ]}^2}dy =\int_{c}^{d}\sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2}dy


Ejemplo 3

Escriba la integral para calcular la longitud de arco de la hiperbola xy = 1 del punto (1,1) al punto (2,1/2)


Tenemos que  y=\frac{1}{x} entonces \frac{dy}{dx}= -\frac{1}{x^{2}}


L = \int_{1}^{2}\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^{2}}


\int_{1}^{2}\sqrt{1+\frac{1}{x^{4}}}dx


\int_{1}^{2}\frac{\sqrt{x^{4}+1}}{x^{2}}dx = 1.13

Ejemplo 4



calcule la lungitud del arco dada por la funcion  y= \ln(sec(x)),  \:\; 0 \leq x\leq  \frac{\pi}{4}

entonces tenemos que y' seria.
 y'= \frac{sec(x)tan(x)}{sec(x)}=tan(x) dx

sabemos que
 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1 + tan^{2}(x)} dx

RECORDEMOS QUE  sec^{2}(x)- tan^(2)(x) =1 \Rightarrow sec^{2} =1+ tan^{2}(x)
Sustituimos
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{sec^{2}(x)}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} sec(x)
 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} sec(x)= ln[sec(x) + tan(x)]^{\frac{\pi}{4}}_{0} = ln( \sqrt{2} +1)

Ejemplo #5

Calcular la longitud de arco de la grafica de(y-1)^{3}=x^{2} en el intervalo (0,8).

Empezamos despejando X en terminos de y: x=+(y-1)^{\frac{3}{2}. El intervalo (0,8) de la variable x corresponde al intervalo (1,5) de la variable y.

La longitud de arco esta dada por:

s=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^{2}}dy


=s=\int_{1}^{5}\sqrt{1+(\frac{3}{2} (y-1)^{\frac{3}{2}})^{2} }dy


=\int_{1}^{5} \sqrt{\frac{9}{2}y-\frac{5}{4}}dy


=\frac{1}{2}\int_{1}^{5}\sqrt{9y-5}dy


=\frac{1}{27}(40^{\frac{3}{2}} -4^{\frac{3}{2}})


==9.0734

Ejemplo 6

Calcular la longitud de la curva en el intervalo [4,0] de la función.

f(x)= \frac{4\sqrt{2}}{3}  X^ \frac {3}{2} - 1.

derivamos la función :


f(x)= \frac{4\sqrt{2}}{3} *  \frac {3}{2} X^ \frac {1}{2} - 1.


Simplificando y elevando al cuadrado


f(x)= 2\sqrt{2x^\frac{1}{2}}^2 = 8.


Ahora sustituimos en la integral para calcular la longitud
\int_{0}^{4} \sqrt{1+8x}dx


Integrando por sustitución, queda

L=\frac{2}{3}


EJEMPLO 7

Encuentre la longitud de arco: y = 1 + 6x\tfrac{3}{2} en: 0\leq x\leq 1

Entonces:

y = 1 + 6x\tfrac{3}{2} = \gg dy/dx = 9x\tfrac{1}{2} = \gg 1+(dy/dx)^2 = 1 + 81x

Entonces, comenzamos a trabajar en la longitud de arco:

L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+81x}dx = \int_{1}^{82}u\tfrac{1}{2}(\frac{1}{81})du

Aplicamos sustituciones:

u = 1+ 81x y du = 81dx

= \gg \frac{1}{81}\cdot \frac{2}{3}\left [ u\tfrac{3}{2} \right ]_{1}^{82}\textrm{}=\frac{2}{243}(82\sqrt{82}-1)

Nuestro resultado aproximado sería de: 6.103U

EJEMPLO 8

Encontrar la longitud de arco de: y^2 = 4(x+4)^3 0\leq x\leq 2, y > 0

Entonces:

y^2 = 4(x+4)^3, y > 0=> y=2(x+4)\frac{3}{2}=>dy/dx = 3(x+4)\frac{1}{2} => 1+(dy/dx)^2=1+9(x+4)=9x+37

Entonces, comenzamos a trabajar en la longitud de arco, haciendo una pequeña pausa, hacemos una sustitución:

u=9x+37 y du=9dx

L=\int_{0}^{2}\sqrt{9x+37}dx = \int_{37}^{55}u\frac{1}{2}(1/9)du

=\frac{1}{9}\cdot \frac{2}{3}\left [ u\frac{3}{2} \right ]_{37}^{55}\textrm{}=2/27(55\sqrt{55}-37\sqrt{37})

Nuestro resultado final sería aproximadamente: 13.54U

EJEMPLO 9

Encontrar la longitud de arco de:  y= Ln(sec x) , 0\leq x\leq \Pi /4

 y= Ln(sec x)=>dy/dx= \frac{secx tanx}{sec x}= tan x=>1+(\frac{dy}{dx})^2=1+tan^2x = sec^2x

Entonces, nuevamente trabajamos la longitud de arco;

L = \int_{0}^{\Pi /4}\sqrt{sec^2x}dx= \int_{0}^{\Pi/4}\left | sec x \right |dx= \int_{0}^{\Pi/4}secxdx= \left [ Ln(secx+tanx) \right ]_{0}^{\Pi/4}\textrm{}

Nuestra operación ya realizada:

Ln (\sqrt{2}+1)-Ln(1+0)

Simplificando, nos quedaría:

 Ln(\sqrt{2}+1)

Nuestro resultado aproximado:

0.8814u

EJEMPLO 10

Encuentre la longitud de arco: y^2=4x, 0\leq y\leq 2

y^2=4x, x=1/4y^2=>dy/dx=1/2y=>1+(dx/dy)^2=1+1/4y^2

Usando la longitud de arco;

L = \int_{0}^{2}\sqrt{1+1/4y^2}dy = \int_{0}^{1}\sqrt{1+u^2}\cdot 2du => \left [ u\sqrt{1+u^2}+Ln\left | u+\sqrt{1+u^2} \right | \right ]_{0}^{1}\textrm{}

Simplificando la expresión;

\sqrt{2}+Ln(1+\sqrt{2})

Nuestro resultado aproximado sería:

2.296u

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