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Longitud de arco en parametricas

De por WikiMatematica.org

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Ya sabemos calcular la longitud (L), de una curva (C), definida por  y=F(x),  a\leq x\leq  b .

Si {F}' es contínua, entonces:

     L=\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left (\frac{dy}{dx}  \right )^{2}}dx

Vamos a suponer que C también se puede escribir con las ecuaciones paramétricas x=f(t) y y=g(t), \alpha \leq t\leq \beta .

Donde  \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = {f}'(t) >  0.


Esto quiere decir que C es recorrida una vez, de izquierda a derecha, a medida que su t aumente desde  \alpha hasta \beta y  f(\alpha )=\alpha , f(\beta )=\beta.


Si colocamos  \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}} si \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \neq 0


En la ecuación que acabamos de mencionar y empleamos la regla de sustitución, obtendremos:

L= \int_{a}^{b}\sqrt{1+ \left ( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right )^2}dx = \int_{\alpha }^{\beta }\sqrt{1+\left (  \frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}\right )^2\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}dt

Como \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} > 0,

Entonces:

L=\int_{\alpha }^{\beta } \sqrt{\left ( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \right )^2+\left ( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \right) ^2}dt

Contenido

Ejemplo # 1

  • Calcular la longitud de arco de la parábola  y^{2} = x de (0,0) a (1,1).


 \frac{\mathrm{dy} _{}}{\mathrm{d} x} = 2y

Entonces aplicando la ecuación tenemos que:


 L = \int_{0}^{1} \sqrt{(1 + 4y^{2})}dy


Evaluando puntos:

 L =  \frac{1}{4} (\sec\alpha\tan \alpha + \ln(\sec\alpha + \tan\alpha))


Finalmente:


 L = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\ln(\sqrt{5} +2)}{4}


Ejemplo # 2

  • Calcular la longitud de arco de la superficie de en revolución sobre el eje x

x^{2} + y^{2}= 0 en el punto (0,3)


Parametrizando:

x=3cos(t)

y=3sen(t)

en el intervalo 0\leq t\leq \pi/3


Obtenemos:

2\pi \int_{0}^{\pi/3}sen(t) dt


Resolviendo:

18\pi \int_{0}^{\pi/3}sen(t) dt -18\pi cos(t)


Evaluando de 0 a \pi/3


Obtenemos que la longitud de arco es 9\pi

Ejemplo # 3

  • Encontrar la longitud de arco para 24xy= x^4 + 48.

Desde x=2 hasta x=4.


\frac{dy}{dx} = \frac{x^4 - 16}{8x^2}

y


1 + \left (\frac{dy}{dx}  \right )^2 = \frac{1}{64}\left (\frac{x^4 + 16}{x^2}  \right )^2.


Entonces, obtenemos:


L = \int_{2}^{4}\left ( x^2 +\frac{16}{x^2} \right )dx  = \frac{17}{6} Unidades



Ejemplo # 4

  • Hallar la longitud del arco de la curva

x = t^2,y=t^3

Desde t=0 hasta t=4.


\frac{dx}{dt} = 2t, \frac{dy}{dt}= 3t^2


y


 \left ( \frac{dx}{dt} \right )^2 + \left ( \frac{dy}{dt} \right )^2 = 4t^2 + 9t^4 = 4t^2\left (1 + \left (\frac{9}{4  \right )}t^2  \right )


Entonces,

L =\int_{0}^{4} \sqrt{1+\frac{9}{4}t^2} 2t dt = \frac{8}{27} \left ( 37\sqrt{37}-1 \right ) Unidades.



Ejemplo # 5

  • Hallar la longitud de un arco de la cicloide

x = \alpha - sen (\alpha),y = 1 - cos (\alpha)


Se describe un arco cuando \alpha varía desde \alpha=0 hasta \alpha =2\pi


\frac{dx}{d\alpha} = 1- cos(\alpha), \frac{dy}{d\alpha} = \sin (\alpha)


y


\left (\frac{dx}{d\alpha}  \right )^2 + \left (\frac{dy}{d\alpha  \right )}^2 = 2(1- cos\alpha) = 4 sen^2\left (\frac{1}{2}\alpha  \right )


Entonces,

L =2\int_{0}^{2\pi} sen(\frac{1}{2}\alpha) d\alpha = -4cos[(1/2)\alpha]_{0}^{2\pi} = 8 Unidades.



Ejemplo # 6

  • Si usamos la representacion del círculo unitario, ¿Cuál es la longitud de arco?

x=cos(t)


y=sen(t)


L=\int_{0}^{2}\sqrt{(-sen(t))^2+ (cos(t))^2} dt


L=\int_{0}^{2}\sqrt{(sen^2(t)) + (cos^2(t)}dt


L=\int_{0}^{2} dt = [t]_{0}^{2} = 2\pi-0= 2 \pi




Ejemplo # 7

  • Encontrar la longitud de arco de la curva:


x = t^2,y = t^3


Desde t = 0 hasta t = 4



\frac{dx}{dt} = 2t, \frac{dy}{dt} = 3t^3


y


\left ( \frac{dx}{dt} \right )^2 + \left ( \frac{dy}{dt} \right )^2 = 4t^2 + 9t^2 = 4t^2\left (1+\frac{9}{4} t^3 \right )


Entonces:


L = \int_{0}^{4} \sqrt{1+\left ( \frac{9}{4} t^2 \right )}2t dt


L = \frac{8}{27} (37\sqrt{37} - 1) Unidades.




Ejemplo # 8

  • Encontrar la longitud de arco del cicloide x=\theta - \sin\theta, y=1-\cos\theta.


Se describe un arco cuando \theta varía desde \theta=0 hasta \theta = 2\pi \frac{ds}{d\theta} = 1-\cos\theta, \frac{dy}{d\theta}= \sin \theta

y


\left ( \frac{dx}{d\theta} \right )^2 + \left ( \frac{dy}{d\theta} \right )^2 = 2(1-\cos\theta) = 4\sin^2\frac{1}{2}\theta


Entonces:


L = 2\int_{0}^{2\pi}\sin\frac{1}{2}\thetad\theta = [-4\cos\frac{1}{2}\theta]_{0}^{2\pi}


= 8 Unidades.



Ejemplo # 9

  • Encontrar la longitud de arco para la curva y = x^{3/2}.

Siendo x=0hasta x=5.


\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{1/2}


y


L=\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left (\frac{dy}{dx}  \right )^{2}}dx


L=\int_{0}^{5} \sqrt{1+\left (\frac{9}{4}  \right )}xdx = \left [ \frac{8}{27}\left ( 1+ \frac{9}{4} x\right )^{3/2} \right ]_{0}^{5}  = \frac{335}{27} Unidades



Ejemplo # 10

  • Encontrar la longitud de arco de la curva x = y^{3/2} -1


Desde x=0 hasta x=4.



\frac{dx}{dy} = \frac{9}{2}y^{1/2}


Entonces,


L = \int_{0}^{4} \sqrt{1+\left ( \frac{81}{4} \right )}y dy = \frac{8}{243}(82\sqrt{82}-1) Unidades.

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