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Longitud de arco en polares

De por WikiMatematica.org


http://youtu.be/LHejbm-R3IA

El proceso que culmina en una fórmula para el área de una región polar es paralelo al del área en coordenadas cartesianas, pero utiliza sectores circulares en lugar de rectángulos como elementos básicos.


A través de la historia de las matemáticas, grandes pensadores consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular. Aunque Arquímedes había descubierto una aproximación rectangular para calcular el área bajo una curva con un método de agotamiento, pocos creyeron que era posible que una curva tuviese una longitud definida, como las líneas rectas. Las primeras mediciones se hicieron posibles, como ya es común en el cálculo, a través de aproximaciones: los matemáticos de la época trazaban un polígono dentro de la curva, y calculaban la longitud de los lados de éste para obtener un valor aproximado de la longitud de la curva. Mientras se usaban más segmentos, disminuyendo la longitud de cada uno, se obtenía una aproximación cada vez mejor.

Consideramos que \theta es un parámetro, y escribimos las ecuaciones paramétricas de la curva en la forma:


x= r cos(\theta )= f(\theta )cos(\theta )


y= r sen(\theta )= f(\theta )sen(\theta )


Al derivar con respecto de \theta tenemos:


\frac{dx}{d\theta }=\frac{dr}{d\theta }cos(\theta )- r sen(\theta ) y \frac{dy}{d\theta }=\frac{dr}{d\theta } sen(\theta) + r cos(\theta )


Ahora usando cos^{2}(\theta ) + sen^{2}(\theta ) = 1


(\frac{dx}{d\theta })^{2} + (\frac{dy}{d\theta })^{2}


 = (\frac{dr}{d\theta })^{2} cos^{2}(\theta ) - 2r \frac{dr}{d\theta }cos(\theta )sen(\theta )+ r^{2}sen^{2}(\theta )+ (\frac{dr}{d\theta })^{2} sen^{2}(\theta ) + 2r\frac{dr}{d\theta }sen(\theta )cos(\theta ) + r^{2}cos^{2}(\theta )


=(\frac{dr}{d\theta })^{2}+ r^{2}


Suponemos que {f}' es contínua entonces podemos usar el teorema:


L=\int_{a}^{b}\sqrt{(\frac{dx}{d\theta })^{2}+(\frac{dy}{d\theta })^{2}}d\theta


L=\int_{a}^{b}\sqrt{r^{2}+(\frac{dr}{d\theta })^{2}}d\theta


Contenido

Ejemplo #1

  • Calcular la longitud de arco del cardioide r = 1 + sen(\theta)  .


L= \int_{0}^{2\pi } \sqrt{r^{2}+ (\frac{dr}{d\theta })^{2}}d\theta  = \int_{0}^{2\pi }\sqrt{(1+sen(\theta ))^{2}+cos^{2}(\theta )}d\theta


=\int_{0}^{2\pi }\sqrt{2+2sen(\theta )}d\theta = 8



Ejemplo #2

  • Encontrar el perímetro de un círculo de radio a.

Dado que tenemos dos ecuaciones para encontrar la longitud de arco utilizaremos ambas para demostrar que podemos llegar al mismo resultado.


L=\int_{a}^{b}\sqrt{(\frac{dx}{d\theta })^{2}+(\frac{dy}{d\theta })^{2}}d\theta

L=2 \int_{0}^{\pi}\sqrt{(-asin(\theta))^{2}+(acos(\theta)^{2})}d\theta

L=2a \int_{0}^{\pi}d\theta

L=2a\pi


Ahora por la otra ecuación:


L=2\int_{0}^{\pi}\sqrt{a^{2}+0^{2}}d\theta

L=2a\int_{0}^{\pi}d\theta

L=2a\pi


Con esto demostramos que el perímetro de un círculo es 2\pi a

Ejemplo #2

  • Encontrar la longitud de un arco de la cicloide:

x=r(\theta - sen(\theta))
y=r(1 - cos(\theta))

Solución:

\dot{x}^2 + \dot{y}^2 = r^2(1-cos(\theta))^2 + r^2sen^2(\theta)

 = r^2 - 2r^2 cos(\theta)+r^2 cos^2(\theta) + r^2 sen^2(\theta)

 = 2r^2 - 2r^2cos(\theta)

 = 2r^2(1- cos(\theta))


Ahora hacemos la integral:

L=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2r^2 (1-cos(\theta))}d\theta

L= \sqrt{2}r \int_{0}^{2\pi}\sqrt{(1-cos(\theta))}d\theta

L=8r

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