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Los números complejos

De por WikiMatematica.org

Un numero complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i).

No existe un número real x que satisfaga la ecuación x^2+1=0.Entonces podemos decir que los numeros complejos es el que esta compuesto por un numero real y un numero imaginario. Para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario introducir los números complejos.

Contenido

Definiciones

Notación

El conjunto de número complejos lo denotaremos por la letra C ó \mathbb{C}

Consideremos un número complejo como una expresión de la forma a+bi, donde a y b son números reales, e i, denominada la unidad imaginaria, con la propiedad de que i^2=-1. Si z=a+bi, a se llama la parte real de z y b la parte imaginaria de z y se denotan por \mathfrak{Re}\left \{ z \right \} e \mathfrak{Im}\left \{ z \right \}, respectivamente. El símbolo z que puede representar cualquier elemento del conjunto de números complejos, es llamado una variable compleja.
Plano complejo.jpg

Dos números complejos a+bi y c+di son iguales si y solamente si a=c y b=d.

Podemos considerar los números reales como el subconjunto del conjunto de los números complejos con b=0. Si a=0, el número complejo se llama Número Imaginario Puro.

Conjugado Complejo

El conjugado complejo, o conjugado simplemente, de un número complejo a+bi es a-bi. El conjugado complejo de un número complejo ''z'' se indica frecuentemente por \bar{z} ó z^*.

x² + 16 = 0

x² = - 16

x= ± (-16)ʌ ½

x= ± 4i

x1= 4i

X2 = - 4i

Los Complejos como espacio Vectorial

(A,+,.,Re) (C,+,.,Re)

a.(x,y)=(a,0).(x,y)

 = (ax,ay)

k.(x,y)= (kx,ky)

ELEMENTOS DE LA BASE

(1,0),(0,1)

(1,i)

Forma Binomial o Canónica de los Números Complejos

El número complejo (0,1) lo representamos por i a este le llamamos la unidad imaginaría.

Z =(x,y)=(x,0)+(0,y)
Z = (1,0)x + (0,1)y
Z = x + iy

i^{2} =(0,1)(0,1)= (-1,0) = -1

Ejemplo

(-1+2i)+(2+5i)(3+4i)

(-1+2i)+(6+8i+15i+20i^2)

(-1+2i)+(6+23i-20)

(-1+2i)+(-14+23i)

-15+25i

(-15,25)

Operaciones con números complejos

1. Adición o suma de números complejos

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

2. Sustracción o resta de números complejos:

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

3. Multiplicación de números complejos:

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

4. División de números complejos:

\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i



Demostraciones:

Adición de números complejos:

(a+bi)+(c+di)=a+c+bi+di
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

Sustracción de números complejos:

(a+bi)-(c+di)=a-c+bi-di
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

Multiplicación de números complejos:

(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2
(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i+bd(-1)
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

División de números complejos:

\frac{a+bi}{c+di}=\frac{a+bi}{c+di}*\frac{c-di}{c-di}
\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac-adi+bci-bdi^2}{c^2-cdi+cdi-d^2i^2}
\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac-adi+bci-bdi^2}{c^2-d^2(-1)}
\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i

Valor Absoluto

El valor absoluto ó módulo de un número complejo a+bi está definido como \left | a+bi \right |=\sqrt{a^2+b^2}

Geométricamente, el módulo de un complejo z = a + bi es la distancia del origen al punto del plano que representa el complejo, como se explica en la siguiente grafica.

ValorAbsoluto.jpg

Propiedades

Si z_1,z_2 son números complejos entoces,

  1. |z_1 z_2|=|z_1| |z_2|
  2. \left |\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}
  3. |z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|
  4. |z_1+z_2|\geq|z_1|-|z_2|

i=i

Ejemplos

  1. (\sqrt{2}-1)-i(1-\sqrt{2i}=-2i)

  2. (3,1)(3,-1)(\frac{1}{5,}\frac{1}{10})=(2,1)

  3. \frac{5}{(1-i)(2-i)(3-i)}=\frac{1}{2}i

  4. (2,-3)(-2,1)=(-1,8)

  5. \frac{1+2i}{3-4i}+\frac{2-i}{5i}=-\frac{2}{5}

  6. (i-1)^4=-4

Solución

1.\sqrt{2}-1-i+\sqrt{2}=-2i<

2\sqrt{2}+i^2-i=-2i<

2.(3+i)(3-i)(\frac{1}{5}+\frac{1}{10}i)=(2+i)

(9-3i+3i-i^2)(\frac{1}{5}+\frac{1}{10}i)=(2+i)

10(\frac{1}{5}+\frac{1}{10}i)=(2+i)

2+i=2+i

3.\frac{5}{(2-i-2i+i^2)(3-i)}=\frac{1}{2}i

\frac{5}{(1-3i)(3-i)}=\frac{1}{2}i

\frac{5}{(3-i-9i+3i^2)}=\frac{1}{2}i

-\frac{5}{10i}=\frac{1}{2}i

-\frac{1}{2}i=\frac{1}{2}i

Por lo tanto no se cumple la igualdad

4.(2-3i)(-2+i)=(-1+8i)

(-4+2i+6i-3i^2)=(-1+8i)

-1+8i=-1+8i

5.\frac{1+2i}{3-4i}*\frac{3+4i}{3+4i}+\frac{2-i}{5i}*\frac{i}{i}=-\frac{2}{5}

\frac{(3+4i+6i+8i^2)}{(9+12i-12i-16i^2)}+\frac{2i-i^2}{5i^2}=-\frac{2}{5}

\frac{-5+10i}{25}+\frac{2i+1}{-5}=-\frac{2}{5}

-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i-\frac{2}{5}i-\frac{1}{5}=-\frac{2}{5}

-\frac{2}{5}=-\frac{2}{5}

6.(i-1)(i-1)(i-1)(i-1)=-4

(i^2-i-i+1)(i^2-i-i+1)=-4

(-2i)(-2i)=-4

4i^2=-4

-4=-4

Nota

En el ejemplo No. 5 podemos notar que se utilizo el conjugado, esto debido a que en el denominador se quiere quedar sin la parte imaginaria (Racionalización de Radicales).

Teorema de Moivre

Si n es un entero positivo z=r(cos \Theta +isen \Theta ), entonces el uso repetido de la fórmula producirá fórmulas para determinar las potencias de z:

z^{2}=r^{2}(cos 2\Theta + i sen 2\Theta ).
z^{3}=z*z^{2}=r^{3}(cos 3\Theta + i sen 3\Theta ).
z^{4}=z*z^{3}=r^{4}(cos 4\Theta + i sen 4\Theta ).
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En general tenemos el resultado siguiente, conocido como el Teorema de De Moivre. Si z=r(cos \Theta + i sen \Theta ) y n es un entero positivo, entonces:

z^{n}=r^{n}(cos n\Theta + i sen n\Theta ).

Expresado de forma diferente, tenemos que

\left | z^{n} \right |=\left | z \right |^{n} y arg\left ( z^{n} \right )=n*arg\left ( z \right ).

En palabras, el teorema de De Moivre nos dice que para tomar l n-ésima potencia de un número complejo, tomamos la n-ésima potencia de su valor absoluto y multiplicamos su argumento por n.

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