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Método de residuos para cálculo de inversas

De por WikiMatematica.org

Si tenemos f(t), su transformada se define como F(P)=\int_{0}^{a}f(t)e^{-pt})

Generalmente la transformada tiene la forma F(P)=\frac{Q(P)}{R(P)} Donde ademas el grado de R(P) es mayor que Q(P)

El método de residuos para calcular la inversa es de la siguiente forma:
1. Calculamos los polos de F(P), es decir los puntos donde R(P)


2. Para cada polo P_{k} calculamos un residuo r_{k}


3. P_{k} puede ser definido como polo simple, polo con multiplicidad l


Para un r_{k} simple r_{k} se define como \lim_{p\to p_{k}}(F(P)(P-P_{k})))e^{pt}


para P_{k} polo de multiplicidad l r_{k} se define r_{k}=\frac{1}{(l-1)!}\lim_{P\to P_{k}}[\frac{d^{(l-1)}}{dp^{(l-1)}}(F(P)(P-P_{k})^{^{l}}e^{pt})]


4. Con esto la transformada inversa se define como f(t)=\sum r_{k}

Ejemplos:

F(P)=\frac{3}{p^{2}+3p+2}


1.

  p^{2}+3p+2=0
  (p+1)(p+2)=0
  p_{1}=-1
  p_{2}=-2

2.

   para p_{1}=-1
   r_{-1}=\lim_{p\to -1}(\frac{3}{p^{2}+3p+2}(p+1)e^{pt})
   r_{-1}=\lim_{p\to -1}(\frac{3}{(p+1)(p+2)}(p+1)e^{pt})
   r_{-1}=\lim_{p\to -1}(\frac{3}{(p+2)}e^{pt})
   r_{-1}=3e^{-t}
   para p_{2}=-2
   r_{-1}=\lim_{p\to -1}(\frac{3}{p^{2}+3p+2}(p+2)e^{pt})
   r_{-1}=\lim_{p\to -1}(\frac{3}{(p+1)(p+2)}(p+2)e^{pt})
   r_{-1}=\lim_{p\to -1}(\frac{3}{(p+1)}e^{pt})
   r_{-1}=-3e^{-2t}

3.

    f(t)=\sum r_{k}=r_{1}+r_{2} 
    f(t)=3e^{-t}-3e^{-2t}
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