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Módulo y argumento

De por WikiMatematica.org

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Valor absoluto o módulo, conjugado y distancia

Valor absoluto o módulo de un número complejo

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:  |z|=\sqrt{\hbox{Re}^2(z) + \hbox{Im}^2(z)}

Si pensamos en z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.

Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r e, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma polar como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = e es la conocida fórmula de Euler.

Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto

\left| z \right| = 0 \Longleftrightarrow z = 0
\left| z + w \right| \leq |z| + |w|

\left| zw \right| = |z||w|
\left| z - w \right| \ge |z| - |w|

para cualquier complejo z y w.

Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

Conjugado de un número complejo

Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 son conjugados.

El conjugado de un complejo z (denotado como \bar{z} ó z^* \,\!) es un nuevo número complejo, definido así:

\bar{z} = a - \mathrm{i}b \Longleftrightarrow z = a + \mathrm{i}b

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.

Con este número se cumplen las propiedades:

\bar\bar{z} = z Involucion

\bar{z} = z

\bar{z} = -z

z1.z2 = \bar{z1}.\bar{z2}

\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}

z+\overline{z} = 2\cdot \hbox{Re}(z) 
z-\overline{z} = 2i\cdot \hbox{Im}(z)

\overline{zw} = \bar{z} \bar{w}

z \in \mathbb{R} \Longleftrightarrow \bar{z} = z

|z|^2 = z\bar{z} z \neq 0 \Longrightarrow \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}


Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

Ejemplos

Compute el modulo de los siguientes complejos:

  1. z=3+4i
  2. z=i
  3. z=-i
  4. z=1+i

Solución

1.\sqrt{3^2+4^2}

=\sqrt{9+16}

=\sqrt{25}

=5

2.\sqrt{0^2+1^2}

=\sqrt{1}

=1

3.\sqrt{0^2+(-1)^2}

=\sqrt{1}

=1

4.=\sqrt{1^2+1^2}

=\sqrt{2}

Desigualdades

|Re(z)|<= |(z)|,|Im(z)|<= |(z)|

Demostración

z=x+yi
Re(z)=x
|Re(z)|=|x|=x
|(z)|=\sqrt{x^2+y^2}
x<=\sqrt{x^2+y^2}

Desigualdad Triangular

|z1 + z2|<=|z1| + |z2|

Demostración

|z1 + z2|^2=|z1|^2 + |z2|^2 +2Re({z1}\bar{z2})
|Re({z1}\bar{z2})|<=|{z1}\bar{z2}|= |{z1}||\bar{z2}|
|z1 + z2|^2=|z1|^2 + |z2|^2+2Re({z1}\bar{z2})<=|z1|^2 + |z2|^2+2|{z1}||\bar{z2}|
|z1 + z2|^2=|z1|^2 + |z2|^2+2|{z1}||\bar{z2}|
|z1 + z2|^2=|z1|^2 + |z2|^2+2|{z1}||{z2}|
|z1 + z2|^2<=(|z1|^2 + |z2|^2)
aplicamos raiz cuadrada
|z1 + z2|<=(|z1| + |z2|)
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