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Matrices de: Transferencia, Transición de Estados y Modal

De por WikiMatematica.org

Matriz de Transferencia


Contenido

EJEMPLO:

Dar las ecuaciones dinámicas y de lectura para el circuito a continuación:

CTSII.jpg


Lo primero que hacemos es analizar el circuito, para esto utilizamos el método de mallas, podemos ver que para este circuito tenemos 2 mallas, la primera quedaría así:

Malla 1

\displaystyle y_{1}(t)- L_{1}\frac{\partial i_{1}}{\partial t}-\frac{1}{c}\int(i_{1}-i_{2})= 0


Ahora despejamos para Y y nos queda de la siguiente manera:


\displaystyle y_{1}(t)= L_{1}\frac{\partial i_{1}}{\partial t}+\frac{1}{c}\int(i_{1}-i_{2})


Ahora analizamos la segunda malla, que nos queda así,

Malla 2

\displaystyle y_{2}(t)- L_{2}\frac{\partial i_{2}}{\partial t}+\frac{1}{c}\int(i_{2}-i_{1})=0


Ahora nuevamente despejamos para Y y nos queda de la siguiente manera:

\displaystyle y_{2}(t)= L_{2}\frac{\partial i_{2}}{\partial t}+\frac{1}{c}\int(i_{2}-i_{1})


Teniendo esto procedemos a sacar las variables de estado y sus respectivas derivadas

\displaystyle q_{1}(t)= i_{1}(t) -------------> \displaystyle {{q}'}_{1}(t)= -\frac{1}{cL_{1}}q_{3}(t)+\frac{1}{L_{1}}y_{1}(t)


\displaystyle q_{2}(t)= i_{2}(t) -------------> \displaystyle {{q}'}_{2}(t)= \frac{1}{cL_{2}}q_{3}(t)+\frac{1}{L_{2}}y_{2}(t)


\displaystyle q_{3}(t)= \int(i_{1}-i_{2})dt ------------> \displaystyle {{q}'}_{3}(t)= q_{1}-q_{2}


Ahora basandonos en las variables de estado, sacamos las ecuaciones dinámicas


\underline{{q}'}(t)=\begin{bmatrix} 0 & 0 & -\frac{1}{cL_{1}}\\ 0 & 0 & \frac{1}{cL_{2}} \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}\underline{q}(t)+\begin{bmatrix} \frac{1}{L_{1}} &0 \\ 0 &\frac{1}{L_{2}} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\underline{y}(t)

Ahora vamos a indicar cuales serían las salidas de nuestro sistema, segun el problema tenemos 2, las cuales son:

x_{1}(t)=-\frac{1}{c}q_{3}+y_{1}(t)


x_{2}(t)=\frac{1}{c}q_{3}

Y Por ultimo, basandonos en las 2 salidas que tenemos, escribimos las ecuaciones de lectura


x(t)=\begin{bmatrix} x_{1}(t)\\ x_{2}(t) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 &-\frac{1}{c} \\ 0 & 0 &\frac{1}{c} \end{bmatrix}\underline{q}(t)+\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\underline{y}(t)


y(t)=\begin{bmatrix} y_{1}(t)\\ y_{2}(t) \end{bmatrix}

Matriz de Transferencia

y(P)\to \sqsubset G(P)\sqsupset \to X(P)

   G(P)=\frac{X(P)}{Y(P))}
   X(P)=G(P)Y(P)
   {q}'(t)=Aq+By\overset{\mathfrak{L}}{\rightarrow}PQ(P)=AQ(P)+BY(P)
                        \to PQ(P)-AQ(P)=BY(P)
                         \to [PI-A]Q(P)=BY(P)
   x(t)=Cq+Dy By\overset{\mathfrak{L}}{\rightarrow} X(p)=CQ(p)+DY(p)
   Q(P)=[PI-A]^{-1}BY(P)
   X(P)=[C[PI-A]^{-1}B+D]Y(P)

Obtenemos la Matriz de Transferencia: G(P)=C[PI-A]^{-1}B+D

Ejemplo 1:

Calcular la matriz de transferencia para el sistema dado por:

{q}'(t)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ -6 & -11 & -6 \end{bmatrix}q(t)+\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{bmatrix}Y(t)

x(t)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}q(t)+0Y(t)

[PI-A]=P\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & -1 & -6 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} P & -1 & 0 \\ 0 & P & -1 \\ 6 & 11 & P+6 \end{bmatrix}

Ahora obtendremos [PI-A]^{-1}:

Primero se obtiene el determinante de la matriz \begin{bmatrix} P & -1 & 0 \\ 0 & P & -1 \\ 6 & 11 & P+6 \end{bmatrix}

Nota: Si no recuerda como obtener el determinante de una matriz puede visitar Determinante

El determinante es: P^{3}+6P^{2}+11P+6

[PI-A]^{-1} = \frac{1}{determinante} multiplicado por la matriz de cofactores transpuesta


[PI-A]^{-1}= \frac{1}{P^{3}+6P^{2}+11P+6} \begin{bmatrix} P^{2}+6P+11 & P+6 & 1 \\ -6 & P^{2}+6P & P \\ -6P & -11P-6 & P^{2}\end{bmatrix}

Ahora multiplicamos por la Matriz C

C[PI-A]^{-1}= \frac{1}{P^{3}+6P^{2}+11P+6}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} P^{2}+6P+11 & P+6 & 1 \\ -6 & P^{2}+6P & P \\ -6P & -11P-6 & P^{2}\end{bmatrix}

Aplicando multiplicacion de Matrices

Nota: Si no recuerda como realizar la multiplicacion de matrices puede visitar Multiplicacion

Obtenemos de multiplicar la matriz C por la matriz de cofactores transpuestos:

C[PI-A]^{-1}= \frac{1}{P^{3}+6P^{2}+11P+6}\begin{bmatrix} P^{2}+6P+11 & P+6 & 1\end{bmatrix}

G(P)=C[PI-A]^{-1}B = \frac{1}{P^{3}+6P^{2}+11P+6}\begin{bmatrix} P^{2}+6P+11 & P+6 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{bmatrix}

Da como resultado:

\therefore \frac{6}{P^{3}+6P^{2}+11P+6}

Ejemplo 2

Dar matriz de transferencia para el sistema dado por:

{\dot{q}}'(t) =\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}q(t)+\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}Y(t))

X(t)=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}q(t)

PI-A=\begin{bmatrix}P&0\\1&p+1\end{bmatrix}

C[PI-A]^{'}=\begin{bmatrix}\frac{1}{p}&0\\\frac{-1}{P^{2}+p} & \frac{1}{p+1}\end{bmatrix}

Nota: ahora multiplicaremos por la matriz C, pero como la matriz C es la matriz identidad otenemos

[PI-A]^{'}=\begin{bmatrix}\frac{1}{p}&0\\\frac{-1}{P^{2}+p} & \frac{1}{p+1}\end{bmatrix}

G(P)=C[PI-A]^{-1}B=\begin{bmatrix}\frac{1}{P}&0\\ \frac{-1}{P^{2}+p} & \frac{1}{P+1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0\\ 1&1 \end{bmatrix}

Obtenemos como resultado:

\therefore \begin{bmatrix} \frac{1}{p} & 0 \\ \frac{P-1}{P^{2}+p} & \frac{1}{P+1}\end{bmatrix}

Donde la columna 1 es Y_1 y la columna 2 Y_2 y la fila 1 es X_1 y la fila 2 X_1


Nota: este ejemplo podemos leer cuando el sistema posee 2 entradas




--Pedrojose 17:06 31 jul 2009 (UTC)

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