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Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden

De por WikiMatematica.org

Modelo matemático

Un modelo matemático es la descripción matemática de un sistema o fenómeno de la vida real. La formulación de un modelo matemático implica:

- Identificar las variables causantes del cambio de un sistema.

- Establecer un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema (leyes empíricas aplicables).

Las hipótesis de un sistema implican con frecuencia la razón o tasa de cambio de una o más variables que intervienen. El enunciado matemático de esas hipótesis es una o más ecuaciones donde intervienen derivadas, es decir, ecuaciones diferenciales.


Proceso de modelado

El proceso de modelado básicamente sigue los siguientes pasos:

1. Identificación de variables estableciendo una notación matemática.

2. Leyes empíricas que se pueden aplicar.

3. Planteamiento de las ecuaciones.


Ejemplos de formulación de modelos

Fusión

Se considera una esfera de hielo que se derrite a razón proporcional al área de su superficie. Hallar una expresión para el volumen de la esfera en cualquier unidad de tiempo.

1. Variables: La incógnita del problema: volumen (es función del tiempo). Notación matemática: V : volumen, t: tiempo, V = V (t): el volumen depende del tiempo, es decir, es función del tiempo.

2. Leyes empíricas que se pueden aplicar: En los datos: "La esfera se derrite a razón proporcional al área de su superficie", es decir, "el volumen de la esfera varía a razón proporcional al área de su superficie". La variación de volumen es la derivada de V con respecto al tiempo: \frac{dV}{dt}. Expresión de la ley en forma matemática: \frac{dV}{dt}=k4\pi r^2.

r es el radio de la esfera, r = r(t).


3. Planteamiento de la ecuación: Planteamos la ecuación con la incógnita inicial  V=\frac{4}{3}\pi  r^3 \longrightarrow{} (\frac{3V}{4\pi })^\frac{1}{3}= r

Sustituyendo:\frac{dV} {dt}=k4\pi (\frac{3V} {4\pi})^\frac{2} {3}= k(4\pi)^\frac{1} {3} 3^\frac{2} {3} V^\frac{2} {3}.

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