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Modelos lineales, por WikiMatematica.org
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Modelos lineales

De por WikiMatematica.org


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Contenido

Crecimiento y decaimiento (El problema del valor inicial)

Crecimiento de Poblaciones

Sea p(t) la población de un grupo de individuos en el tiempo t. Si se espera que la tasa o índice de natalidad
\alpha y la tasa o índice de mortalidad \beta se mantengan constantes.


 \Delta p = \alpha p(t)\Delta t - \beta p(t)\Delta t

En un instante de tiempo muy corto, \Delta t \to \infty , se obtiene la ecuacion diferencial:
\frac{\mathrm{dp} }{\mathrm{d} t}= kp


De forma General para otros modelados: \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = kx, x(t_{o})=x_{o}

donde k es una constante de proporcionalidad sirve como modelo para diversos fenómenos que tienen que ver con el crecimiento o con el decaimiento. Como ya se habia visto antes sabemos que en las aplicaciones biologicas, la tasa de crecimiento de ciertas poblaciones en periodos cortos es proporcional a la población presentes en el tiempo t es decir que si se conoce la población en un tiempo arbitrario t_{0}, la solución de la ecuacion puede utilizarse para predecir en el futuro es decir, en tiempos t>t_{0} en donde la constante de proporcionalidad en k se determina a través de la solución del problema de valor inicial con una medida posterior de x en un tiempo t_{1}>t_{0}.


Solución de la ecuación

\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = kxEDO SEPARABLE

\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = k     \left |  \right |\int ...dt

\int \frac{1}{x}dx=k\int dt

ln(x)=kt+c\left |  \right |e

x(t)=ce^{kt} SOLUCION GENERAL



EJEMPLO

Crecimiento de Bacterias

En un principio, un cultivo al inicio tiene p_{0} cantidad de bacterias. En t= 1 h se determina que el número de bacterias es \frac{3}{2}p_{0}.Si la rapidez de crecimiento es proporcional al numero de bacterias P(t) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que se triplique el número de bacterias.

SOLUCION
stan
Usaremos la solución general de la ecuación vista anteriormente pero se reemplazara x por P. Entonces sabemos que:
P(0)=P_{0}
P(1)=\frac{3}{2}p_{0}

Entonces con t_{0} lo sutiruiremos en la solución general para conocer la constante k

P(0)=ce^{k*0}

P_{0}=c

Luego se utiliza la segunda suposición P(1)=\frac{3}{2}p_{0} y se sustituye en la solucion general con el valor de c

P(1)=\frac{3}{2}p_{0}=P_{0}e^{k*1}

\frac{3}{2}=e^k \left |  \right |ln

ln(\frac{3}{2})=k

ya conociendo los valores de c y k llegamos a una solución particular de la siguiente manera:

P(t)=P_{0}*e^{ln(\frac{3}{2})t}

pero queremos saber en que tiempo la población se triplica, es decir P(t)=3P_{0} entonces solo sustituimos en la solución particular y despejamos t

3P_{0}=P_{0}*e^{ln(\frac{3}{2})t}

3=e^{ln(\frac{3}{2})t} \left |  \right |ln

ln(3)=ln(\frac{3}{2})t

\frac{ln(3)}{ln(\frac{3}{2})}=t

t=2.71h

RESPUESTA: En 2.71 horas se triplicara la población de bacterias


Desintegración Radioactiva

Supongamos que una sustancia que contiene N(t) átomos de cierto isótopo radioactivo en la hora t.Se sabe que cierta cantidad de estos átomos se desintegra transformándose en átomos de otro elemento o en otro isótopo del mismo elemento.Así que el comportamiento de los átomos es similar a una población donde no hay nacimientos.

Modelo de Desintegración Radioactiva

El numero de átomos de un isótopo radioactivo esta dado por:

\frac{\mathrm{dN} }{\mathrm{d} t}= -kN



Vida Media

En la Fisica la vida media es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva. La vida media es simplemente el tiempo que tarda en desintegrarse, o trasmutar en átomos de otro elemento, la mitad de los atomos de una cantidad inicial A_{0}. Mientras mas grande sea la vida media de una sustancia, mas estable es esta. Por ejemplo, la vida media del radio altamente radiactivo, Ra-226, es de alrededor de 1700 años. En 1770 años la mitad de una determinada cantidad de Ra-226 transmuta en radón, Rn-222. El isótopo de uranio mas comun, U-238, tiene una vida media de unos 4,500,000,000 de años.

La desintegracion constante de un isótopo radioactivo se especifica a menudo en funcion de la constante empírica, \tau llamada la vida media.

N(t) =  N/2


Es decir que \tau es el tiempo que le toma a una muestra en desintegrarse hasta llegar a la mitad de la cantidad original.



EJEMPLO

Un reactor autorregenerador convierte el uranio 238 relativamente estable en el isotopo plutonio 239. Después de 15 años se determina la vida media de este isótopo si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad presente.


SOLUCION Sea A(t) la cantidad de plutonio presente en el tiempo t.
Como en el problema del valor inicial:
\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t} = kA , A(0) = A_{0}
Es A(t)=A_{0} e^{kt}.
Si 0.043% de los atomos de A_{0} se ha desintegrado, entonces queda 99.957% de la sustancia.
Para hallar la constante de decaimiento k, se utiliza 0.99957A_{0} = A(15), esto es, 0.99957A_{0}=A_{0}e^{k(15)}.
Al despejar de esta ecuación el valor de la constante se obtiene que k = \frac{1}{15}ln(0.99957) = -0.00002867.
Por consiguiente, A(t)}=A_{0}e^{-0.00002867t}
Al resolver la vida media para t se obtiene \frac{1}{2}A_{0}=A_{0}e^{k(15)} , de la cual despejando el tiempo se obtiene:
t = \frac{ln(2)}{0.00002867} , que es aproximadamente 24,180 años.

Ley de enfriamiento o calentamiento de Newton

La rapidez con la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la deferencia entre la temperatura de cuerpo y la temperatura del medio ambiente.


T(t) representa la temperatura del cuerpo en el tiempo t, Tm es la temperatura del medio ambiente.


 \frac{dT}{dt}=k(T-Tm)

Ejemplo

Cuendo se saca un pastel del horno, se mide su temperatura en 300^{\circ}F. Tres minutos despues su temperatura es de 200^{\circ}F. ¿Cuanto tarda el pastel en alcanzar la temperatura ambiente de 70^{\circ}F?


T(0) = 300^{\circ}F


T(3) = 200^{\circ}F


Tm = 70^{\circ}F


 \frac{dT}{dt}=k(T-70)


\frac{1}{T-70}\frac{dT}{dt}=k     \left |  \right |\int ...dt (EDO separable)


 ln(t-70)=kt +c


 t-70 = ce^{kt}


 T(t) = 70 + ce^{kt} (esta es la solución general)


 T(0) = 300 = 70 + ce^{k(0)}


entonces c = 230


 T(3) = 200 = (70 + 230)e^{k(3)}


 130 = 230e^{(3)k}


 ln(13/25) = 3k entonces  k=\frac{ln(13/25)}{3}

\therefore T(t) = 70 + 230e^{\frac{ln(13/25)}{3}t} es nuestra solución particular tomando en cuenta las condiciones iniciales que nos fueron dadas.

Fechado con Carbono

Este metodo utiliza el conocimiento de que la vida media del C-14 radiactivo es de alrededor de 5600 años. A continución un ejemplo de como estimar la edad de un fósil.

Se encuentra que un hueso fosilizado contiene una milésima de la concentración de C-14 que se encuentra en la materia viva. Estimar la cantidad del fósil.


 A(0) = Ao


 A(5600)=0.5Ao


 A(t) = 0.001


Evaluando en  A(0)


 A(0) = Ao


 Ao = ce^{k(0)}


 C=Ao


Evaluando en  A(5600)


 A(5600)=0.5   Ao = ce^{k(5600)}


 0.5 = e^{k(5600)}


 ln(0.5) = 5600 entonces  k=\frac{ln(0.5)}{5600}


 a(t) = Aoe^{\frac{ln(0.5)}{5600}t}


 0.001Ao = Aoe^{\frac{ln(0.5)}{5600}t}


 0.001 = e^{\frac{ln(0.5)}{5600}t}


 ln(0.001) = \frac{ln(0.5)}{5600}t


 t = \frac{5600*ln(0.001)}{ln(0.5)} = 55,808 años

Mezclas

Para el mezclado de dos liquidos a veces da lugar a una ecuación diferencial de primer orden. En el momento que se estudio el mezclado de dos soluciones de salmuera se supuso que la rapidez A'(t) a la que cambian la cantidad de sal en el deposito de mezclado era una rapidez neta: \frac{dA}{dt} = (razon de entrada de sal) - (razon de salida de sal) = R_{ent} - R_{sal}

Ejemplo

un deposito de 300 galones de una solución de salmuera. La sal entraba y salia del deposito; la rapidez de bombeo de una solución de salmuera hacia el deposito fue de 3gal/min, esta se mezclo con la solución contenida alli y la mezcla se bombeo despues a razon de 3gal/min. La concentración de sal en el flujo de entrada era de 2lb/gal y, por tanto, la sal estuvo entrando al deposito a la rapidez de R_{entrada} = (2 lb/gal)* (3 gal/min) = 6 lb/min y saliendo a la rapidez R_{salida} = (A/300 lb/gal) * (3 gal/min)= (A/100 lb/min). si al inicio se disolvieron 50 libras de sal en los 300 galones,¿cuanta sal se encuentra en el deposito despues de un largo tiempo?

solucion

como primer paso se resuelve el problema de valor incial

\frac{dA}{dt} + \frac{1}{100} * A = 6, A(0)=50
como se puede observar resultamos con una EDO separable entonces nos preparamos para resolverla la cual nos quedaría de la siguiente manera:
\frac{1}{6-\frac{1}{100}A}\cdot \frac{dA}{dt} = 1
en este paso convertimos a nuestra ecuación en una separable ahora integramos respecto al tiempo:
\frac{1}{6-\frac{1}{100}A}\cdot \frac{dA}{dt} = 1 \left |  \right | \int dt
y nos dará como resultado lo siguiente: -100ln A-600=t +c
ahora se despeja la variable A por lo que pasamos a dividir el -100 y multiplicamos por la exponencial para eliminar el ln
ln A-600=\frac{-t}{100} +c \left |  \right | e
A-600=c\cdot e^{\frac{-1}{100}t}
A(t)=600 + c\cdot e^{\frac{-1}{100}t}
ya con esto encontramos nuestra solución particular; ahora debemos encontrar el valor de la constante c y lo hacemos gracias al valor inicial:
A(0) = 50 = 600 + c\cdot e^{\frac{-1}{100}\cdot 0}
c=-550
sabiendo el valor de la constante c lo sustituimos en la solución particular:
A(t)=600 - 550\cdot e^{\frac{-1}{100}t}
entonces ahora aplicamos para un tiempo muy largo como podemos ver si es un tiempo muy grande este tendera al infito y esto hara que en la función exponencial se anulará el producto de la constante c por la exponencial como se muestra ahora:
cuando t es muy grande entonces t\rightarrow \infty
entonces A(t) = 600 - 550\cdot e^{\frac{-1}{100}\cdot \infty }
esto es lo que se esperaria por intuición entonces sabemos que en un tiempo muy largo solo será:
A(\infty) = 600
esto se obtiene tambien si realizamos el siguiente producto (300 gal)\cdot (2 lb/gal) = 600

Analisis de Circuitos


Circuitos RL serie

circuito RL

Para un circuito en serie que contiene un solo resistor y un inductor, la segunda ley de kirchhoff establece que la suma de la caida del voltaje en el inductor (L(\frac{di}{dt})) y la caida de voltaje en el resistor iR es la misma que el voltaje impreso (E(t)) en el circuito y es asi que obtenemos la siguiente ecuación diferencial lineal para la corriente i(t),

L\frac{di}{dt} + Ri = E(t)
donde L y R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia respectivamente y la corriente i(t) es conocida como la respuesta del sistema.

Circuitos RC serie

La caida de voltaje en un capacitor con capacitancia C esta dada por q(t)/c donde q es la carga en el capacitor y por la segunda ley de kirchhoff nos da lo siguiente
Ri + \frac{1}{C}q = E(t)
Pero la corriente i y la carga q se relacionan mediante i=\frac{dq}{dt} asi que se convierte en una ecuacion diferencial ^ R\frac{dq}{dt} + \frac{1}{C}q = E(t)

Circuitos RLC serie

Ya con lo anteriormente planteado y aplicando la Ley de kirchhoff tenemos la siguiente ecuaciòn diferencial para este tipo de circuito:
 E(t)= L\frac{d^2q}{dt^2} + R\frac{dq}{dt}  + \frac{1}{C}q
lo cual se resume a  E(t)= Lq'' + Rq'  + \frac{1}{C}q

Ejemplo



Se tiene una bateria de 12 voltios la se conecta a un circuito en serie en el que la inductancia es \frac{1}{2} henry y la resistencia es de 10 ohms. Determine la corriente (i) si la corriente inicial es cero.

Solución

por medio de la ecuación ya descrita anteriormente sabemos lo siguiente:
\frac{1}{2}\frac{di}{dt} + 10i = 12

vemos que esta sujeta a i(0)=0. por lo que primero se multiplica por 2 la ecuación diferencial


\frac{di}{dt} + 20i = 24
luego se ve que el factor de integración es: \frac{d}{dt}[e^{20t}i]=24e^{20t}
al integrar cada lado de la ultima ecuación y resolviendo para i se obtiene i(t)=\frac{24}{20}+ [ce^{20t}i]. Ahora sabemos que i(0)=0 implica que 0=\frac{6}{5}+ c entonces c=-\frac{6}{5} o 1.2 aproximadamente por lo tanto llegamos a nuestra respuesta la cuales:
i(t)=\frac{6}{5}-\frac{6}{5}e^{-20t}
también podemos realizar una solución general:
i(t)=\frac{e^-{\frac{R}{L}t}}{L}\int e^{\frac{r}{l}t}E(t)dt+ ce^{-\frac{R}{L}t}
en particular cuando E(t)=E_{0} es una constante entonces:
i(t)=\frac{E_{0}}{R}+ce^{-\frac{R}{L}t}
observamos que t tiende al infinito entonces el segundo termino tiende a cero este termino por lo común se llama termino transitorio; los demas terminos se conocen como la parte del estado estable de la solución. en este caso \frac{E_{0}}{R} tambien se llama corriente de estado estable; para valores del tiempo, al parecer la correinte del cicuito se rige simplemente por la ley de ohm (E=iR)

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