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Momentos y centros de masa

De por WikiMatematica.org


http://youtu.be/dmLOnKXIouI

Contenido

Momentos y Centros de masa

El objetivo principal de esta seccion es determinar el punto P en el cual se equilibra, horizontalmente , una placa delgada de cualquier forma dada, este punto se llama centro de masa o centro de gravedad de la placa.

El caso mas sencillo entre dos masas m1 y m2 estan fijas en los extremos opuestos de una varilla de masa minima o nulaapoyada en un pivote


m1*d1=m2*d2

Supongamos que la varilla esta en el eje x, m1 en x1 y m2 en x2 y el centro de masa en x.


m1(x-x1)=m2(x2-x)

m1x+m2x=m1x1 + m2x2


x= \frac{m1x1 + m1x2}{m1+m2}


En general

x= \frac{\sum_{i=1}^{n} mixi}{\sum_{i=1}^{n} mi}


= \frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i}x_{i}}{ m}


Donde m= \sum_{i=1}^{n} m_{i} es la masa total del sistema y la suma de los momentos individuales.


M= \sum_{i=1}^{n} m_{i}x_{i}


Ahora consideremos un sistema de n particulas como masas m_{1},m_{2}....,m_{n} colocados en los puntos (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})...,(x_{n},y_{n)} en el plano xy. Decimos que el momento del sistema respecto al eje y

M_{y}= \sum_{i=1}^{n}m_{i}x_{i}

y al momento del sistema respecto al eje x

M_{x}= \sum_{i=1}^{n}m_{i}y_{i}

entonces


x= \frac{M_{y}}{m} y y=\frac{M_{x}}{m}

m= \rho A=\rho \int_{a}^{b}f(x) dx


x= \frac{1}{A}\int_{a}^{b}x f(x) dx

y= \frac{1}{A}\int_{a}^{b}\frac{1}{2}[f(x)] ^{2}dx

Ejemplo #1

Situe el centro de masa de una placa semicircular de radio r

y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}

En este caso no hay necesidad de calcular x porque debido al principio de simetria el centro de masa debe estar en el eje y, asi que x=0.el area de un semicirculo es

A= \pi r^{2}/2

y= \frac{1}{A}\int_{-r}^{r}\frac{1}{2}[f(x)]^{2}dx

=\frac{1}{\pi r^{2}/2}*\frac{1}{2}\int_{-r}^{r}\left ( \sqrt{r^{2}-x^{2}} \right )^{2}dx
=\frac{2}{\pi r^{2}}\int_{0}^{r}\left ( r^{2}-x^{2} \right )dx
=\frac{2}{\pi r^{2}}\frac{2r^{3}}{3}
=\frac{4r}{3\pi }

Ejemplo #2

y = \sqrt{x} y = 0 x = 4

M_{x} = \frac{\rho }{2} \int_{0}^{4} x dx

M_{x} = \frac{\rho }{2} \frac{1}{2} x

M_{x} = 4\rho


M_{y} = \rho \int_{0}^{4} x\left ( \sqrt{x} \right ) dx

M_{y} = \frac{64}{5} \rho


\bar{y} = \frac{4}{\frac{16}{3}} = \frac{3}{4}

\bar{x} = \frac{\frac{64}{5}}{\frac{16}{3}} = \frac{12}{5}

Ejemplo #3

y = x^2 y = 0 x = 4

M_{x} = \frac{\rho }{2} \int_{0}^{4} x^4 dx

M_{x} = \frac{\rho }{2} \frac{1}{5} x^5

M_{x} = \frac{512 }{5}\rho


M_{y} = \rho \int_{0}^{4} x^3 dx

M_{y} = 64 \rho


\bar{y} = \frac{\frac{512}{5} }{\frac{64}{3}} = \frac{24}{5}


--Juliocm 23:37 31 oct 2009 (CST)


Ejemplo # 4

Encuentre el centroide acotado por las curvas: y=x & y =  (x^2)

Graph1.jpg

Encontrando el area...

 A= \int_{0}^{1} (x - x^2) dx  =  [\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3} x^3]|_{0}^{1} ---->  A= \frac 1 6 U^2


Encontrando  \bar X y  \bar Y ...


\bar{X} = \frac{1}{\frac{1}{6}} \int_{0}^{1} x(x - x^2) dx ---->  = 6 \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) dx


 =6[\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4} x^4]|_{0}^{1} = \frac 1 2


\bar{Y} = \frac{1}{\frac{1}{6}} \int_{0}^{1} \frac 1 6 ((x)^2 - (x^2)^2) dx ---->  = 3 \int_{0}^{1} (x^2 - x^4) dx


 =3[\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{5} x^5]|_{0}^{1} = \frac 2 5


 C = ( \frac{1}{2} , \frac{2}{5} )

Teorema de Pappus

Sea \textit{R} una region plana que esta totalmente a un lado de una recta \textit{l} en el plano. Si \textit{R} se hace girar en torno de \textit{l}, el volumen del cuerpo resultante es el producto del área \textit{A} de \textit{R} por la distancia \textit{d} recorrida por el centroide de \textit{R}.


Demostracion

Usando el método de capas cilindricas:

V=\int_{a}^{b}2\pi x[f(x)-g(x)]dx

= 2\pi \int_{a}^{b}x[f(x)-g(x)]dx

=2\pi(xA)

=(2\pi x)A= Ad

en donde \textit{d} = 2\pi x es la distancia recorrida por el centroidedurante una vuelta alrededor del eje y.


Ejemplo #1

Un toroide se forma al girar un circulo de radio \textit{r} en torno de una linea en el plano del circulo, que esta a una distancia \textit{R (> r)} del centro del circulo. Calcule el volumen del toroide.


Solución:

El área del circulo es A= \pi r^{2} y d= 2\pi <tex>\textit{R} entonces:

V= Ad = (2\pi R)(\pi r^{2}) = 2 \pi^{2}r^{2}R

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