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Multiplicadores de Lagrange

De por WikiMatematica.org


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Contenido

Metodo de los multiplicadores de Lagrange

Para determinar los valores máximos y mínimos de f(x,y,z) sujeta a la restricción g(x,y,z)=k
Determinar todos los valores de x,y,z y \lambda tal que:

\bigtriangledown f(x,y,z) = \lambda \bigtriangledown g(x,y,z)
g(x,y,z) = k

Evalúe f en todos los puntos (x,y,z) que resulten del primer paso. El mas grande de estos valores es el valor máximo de f; el más pequeño es el valor mínimo de f.

Es más fácil explica la base geométrica del método de Lagrange para funciones de dos variables, por eso comenzaremos calculando los valores extremos de f(x,y) sujetos a una restricción de la forma g(x,y) = k, En otras palabras, buscamos los valores extremos de f(x,y) cuando se impone la restricción de que el punto (x,y) debe estar sobre la curva de nivel g(x,y) = k. La siguiente figura ilustra esta curva junto con varias curvas de nivel de f. Estas tienen por ecuación f(x,y)=c, donde c = 7,8,9,10,11. Hacer máxima f (x,y) sujeta a g(x,y) = k es halla el máximo valor de c tal que la curva de nivel f (x,y)= c corte g(x,y) = k. En la esta figura se ve que esto ocurre cuando estas curvas se tocan solo en un punto, e s decir, cuando tienen una recta tangente común. ( De otra forma, el valor de c podría aumentar más. ) Esto significa que las rectas normales en el punto ( x_0 ,  y_0 ) donde se tocan, son idénticas. Por tanto, los vectores gradiente son paralelo,s es decir, \bigtriangledown f{(x_0, y_0)} =\lambda\bigtriangledown g{(x_0, y_0)} para cierto escalar λ

Video Resumen de Multiplicadores de Lagrange



Ejemplos con una restricción

Ejemplo # 1

  • La función de producción de Cobb- Douglas para un cierto fabricante viene dada por f(x,y) = 100x^\frac{3}{4} y ^\frac{1}{4} donde x denota las unidades de trabajo (Q. 150.00 unidades) e y las unidades de capital (Q 250.00 la unidad) Hallar el máximo nivel de producción admisible para este fabricante, si tiene el coste conjunto de trabajo y capital limitado a Q50000.00

FO: 100x^\frac{3}{4} y ^\frac{1}{4}


FR: 150X+250Y=50000


fx= 75y^\frac{1}{4}x^\frac{-1}{4}

fy= 25x^\frac{3}{4}y^\frac{-3}{4}

\frac{75y^\frac{1}{4}x^\frac{-1}{4}= \lambda 150
}{25x^\frac{3}{4}y^\frac{-3}{4}=\lambda 250
}

x=5y


FR: 150(5y)+250y=50000

750y+250y=50000

y=50000/10000

y=50



Ejemplo # 2

  • Averiguar las dimensiones del paquete rectangular de máximo volúmen sometido a la restricción de que la suma de su longitud y el perímetro de la sección transversal no exceda 108 pulgadas.

FO: xyz


FR:2x+2y+z=108


fx=yz=\lambda 2

fy=xz=\lambda 2

fz=yx=\lambda 2


Resolver ecuación:

fx * x   y    fy * y

\frac{xyz=x2y}{xyz=x2y}

x=y

fy * y    y     fz * z

\frac{xyz=\lambda 2y}{xyz=2z\lambda }

2y=z


FR: 2y +2y+2y= 108


y=18

z=2(18) -36

z=18


Ejemplo # 3

Una caja rectangular sin tapa se hace con 12 m^{2} de cartón. Calcule el volumen máximo de esta caja.

Buscamos maximizar:
V = xyz
con restriccion:
g(x,y,z) = 2xz + 2yz + xy = 12

ahora aplicamos lo que nos dice el metodo de los multiplicadores de Lagrange.
 \bigtriangledown V = \lambda \bigtriangledown g
g(x,y,z) = 12

Entonces:
V_{x} = \lambda g_{x}
V_{y} = \lambda g_{y}
V_{z} = \lambda g_{z}
2xz + 2yz + xy = 12


Las cuales se transforman a la hora de igualar y aplicar el método en:

 yz = \lambda (2z + y)
 xz = \lambda (2z + x)
 xy = \lambda (2x + 2y)
2xz + 2yz + xy = 12


Una forma conveniente de resolver el sistema anterior es dejar del lado izquierdo xyz por lo tanto la primera la multiplicamos por x la segunda por y y la tercera por z, quedaría de la siguiente manera:

 xyz = \lambda (2xz + xy)
 xyz = \lambda (2yz + xy)
 xyz = \lambda (2xz + 2yz)

Esto quiere decir que tenemos igualdades por lo tanto:
 2xz + xy = 2yz + xy
 2yz + xy = 2xz + 2yz
de la segunda ecuación sabemos que:
 xy = 2xz entonces:  y = 2z . Si se hace  x = y = 2z sustituimos en la ecuación:
2xz + 2yz + xy = 12

y nos quedaría de la siguiente manera:
4z^{2} + 4z^{2} + 4z^{2} = 12

Por lo tanto z = 1
entonces: y = 2 y x = 2.

Ejemplo # 4

  • Usar multiplicadores de LaGrange para hacer máximo el valor de

p(p,q,r)= 2pq+2pr+2qr sujeto a p+q+r=1


FO: 2pq+2pr+2qr


FR: p+q+r=1

fp=2r+2q=\lambda 1

fq=2r+2p=\lambda 1

fr=2p+2q=\lambda 1


Resolviendo el sistema de ecuaciones:

2r+2q=2r+2p

q=p


FR: r+r+r=1

3r=1

r=1/3


Ejemplo # 5

f(x,y)=x^2+2y^2

g(x,y)=x^2+y^2=2

 \underset{\bigtriangledown}{\rightarrow} f=(2x,4y),     \underset{\bigtriangledown}{\rightarrow} g=(2x,2y)

(2x,4y)=\lambda  (2x,2y)

x^2+y^2=2

2x=2\lambda x, 4y=2\lambda y

x^2+y^2=k

x-\lambda x=0\rightarrow x(1-\lambda )=0

 \lambda=0\rightarrow x=0, y=\sqrt{k}

4y-2 \lambda y=0\rightarrow y(4-2\lambda )=0

\lambda=2\rightarrow y=0, x=\sqrt{k}

(0,k)MAX

(k,0)MIN

Ejemplo # 6

f(x,y)=x+3y+5z

x^2+y^2+z^2=1

 \underset{\bigtriangledown}{\rightarrow} f=(1,3,5),     \underset{\bigtriangledown}{\rightarrow} g=(2x,2y,2z)

1=2\lambda x\rightarrow x=frac{1}{2\lambda }

3=2\lambda y\rightarrow y=frac{3}{2\lambda }

5=2\lambda z\rightarrow z=frac{5}{2\lambda }

x^2+y^2+z^2=1

(\frac{1}{2\lambda })^2+(\frac{3}{2\lambda })^2+(\frac{5}{2\lambda })^2=1

35=(2\lambda )^2

\frac{\sqrt{35}}{2}=\lambda

\lambda \cong 3\rightarrow x\cong \frac{1}{6},y\cong \frac{1}{2},z\cong \frac{5}{6}

\lambda \cong -3\rightarrow x\cong -\frac{1}{6},y\cong -\frac{1}{2},z\cong -\frac{5}{6}

 (\frac{1}{6},\frac{1}{2},\frac{5}{6})MAX, (-\frac{1}{6},-\frac{1}{2},-\frac{5}{6})MIN


Ejemplo # 7

Determinar los puntos en la esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 que están más cercanos al punto (3,1,-1)


la distancia al punto (3,1,-1):

d=\sqrt{(x-3)^{2}+(y-1)^{2}+(z+1)^{2}}

para hacer mas secilla la operación se maximiza o minimiza el cuadrado de la distancia:

d^{2}= f(x,y,z) ={(x-3)^{2}+(y-1)^{2}+(z+1)^{2}}


la restricción: g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=4

De acuerdo con el método de los multiplicadores de Lagrange, se resuelve  \bigtriangledown f = \lambda \bigtriangledown g g=4, el resultado es:

                          (1)  2(x-3) = 2x\lambda
                          (2)  2(y-1) = 2y\lambda
                          (3)  2(z+1) = 2z\lambda
                          (4)  x^{2}+y^{2}+z^{2}=4

la manera mas sencilla de resolver estas ecuaciones es dejar x,y,z en función de \lambda y luego sustituimos en la ecuación (4).

de la ecuación (1) obtenemos  x=\frac{3}{1-\lambda} se observa que \lambda ≠ 1 por que si \lambda = 1 no se puede realizar la operación.

lo mismo sucede con la ecuación (2) y (3)

 y=\frac{1}{1-\lambda}  z=-\frac{1}{1-\lambda}

sustituyendo en la ecuación (4)

 \frac{3}{1-\lambda}^{2}+\frac{1}{1-\lambda}^{2}-\frac{1}{1-\lambda}^{2}=4

el valor de \lambda = _{-}^{+}\frac{\sqrt{11}}{2}

entonces los puntos (x,y,z) son :

(\frac{6}{\sqrt{11}},\frac{2}{\sqrt{11}},-\frac{2}{\sqrt{11}}) y (-\frac{6}{\sqrt{11}},-\frac{2}{\sqrt{11}},\frac{2}{\sqrt{11}})

se puede observar que el punto mas cercano entonces es (\frac{6}{\sqrt{11}},\frac{2}{\sqrt{11}},-\frac{2}{\sqrt{11}})

Save.jpg

Ejemplo # 8

Max f(x,y)=x^2- y^2

 Restrccion: x- 2y + 6= 0

\bigtriangledown f(x,y) = \lambda \bigtriangledown g(x,y)


\ <2x,-2y> = \lambda <1,-2>

\<2x = \lambda <1>

\<-2y = \lambda <-2>




sitemas de ecuaciones a resolver:

\ 2x=\lambda

\ -2y=-2\lambda

\ x -2y +6=0


\2x=\lambda  \*2

\ -2y=-2\lambda

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones (sumarlos):

\ 4x = 2\lambda

\ -2y = -2\lambda  \ +


\4x-2y = 0


entonces llegamos:


\ 4x=2y


\ 2x=y


\ x-2(2x)+6=0

\ x-4x+6=0

\ -3x=-6

\ x=2

ahora encontramos "y":

\4(2)=2y

\8/2=y

\ y=4

Respuesta: (2,4)

--Hersonjmc 20:07 30 sep 2010 (CST)hersonjmc


Ejemplo # 9

Max f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2


 Restricción: x+y+z-6= 0


\bigtriangledown f(x,y,z) = \lambda \bigtriangledown g(x,y)


\ <2x,2y,2z> = \lambda <1,1,1>


\ <2x,2y,2z = \lambda <1,1,1>

\ <2x,2y,2z = <\lambda,\lambda,\lambda>


De lo anterior obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

\2x = \lambda

\2y = \lambda

\2z = \lambda

\x+y+z-6=0

Del sistema de ecuaciones concluimos q:

\ 2x=2y

entonces: 

\ x=y=z

entonces sustituimos en la Restricción y obtenemos:

\ x+x+x-6=0

\ 3x-6=0


\ 3x=6
\ x=2

ahora encontramos "y" sustituyendo en cualquiera de las otras ecuaciones:


\ 2x=2y
\ 2(2)=y
\ y=2

ahora encontramos "z" sustituyendo en cualquiera de las otras ecuaciones:

\ 2y=2z
\ 2(2)=z
\ z=2

entonces el punto sería (respuesta):

\ (2,2,2) --Hersonjmc 20:18 30 sep 2010 (CST)hersonjmc

Ejemplo #10


Minimizar f(x,y)=x^{2}-y^{2}, sujeta a x-2y+6=0

f_{x}=2x; f_{y}=-2y

\overline{\triangledown f_{(x,y)}}=\left \langle 2x,-2y \right \rangle

g(x,y)=x-2y+6

g_{x}=1; g_{y}=-2; \overline{\triangledown g_{(x,y)}}=\left \langle 1,-2 \right \rangle

\overline{\triangledown g_{(x,y)}}=\lambda \overline{\triangledown g_{(x,y)}}n \to \left \langle 2x,-2y \right \rangle=\lambda \left \langle 1,-2 \right \rangle

I:2x=\lambda; II:y=\lambda; III:x-2y+6=0

\frac{2xy=y\lambda }{xy=x\lambda }\rightarrow 2=\frac{y}{x }\rightarrowx=\frac{y}{2}

\frac{y}{2}-2y+6=0\rightarrow -\frac{3}{2}y+6=0\rightarrow y=4

x=2; \lambda=4; P(2,4)

--JoshLpz 05:48 12 nov 2010 (CST)

Ejemplo # 11

Encuentre los valores extremos de f(x,y)= x^2 + 2y^2 en el disco x^2 + y^2 ≤1.

Solución, De acuerdo con el procedimiento, comparamos los valores de f en los puntos críticos con los valores en los puntos de la frontera. Puesto que  f_x=2x y f_y=4y, el único punto crítico es (0,0). Comparamos el valor de f en ese punto con los valores extremos:

f(0,0)= 0  f(±1,0)=1 f(0, ±1)= 2

Por lo tanto, el máximo valor de f en el disco x^2 + y^2 ≤1 es f(0, ±1)=2, y el valor mínimo es f(0,0)= 0

Ejemplos con dos restricciones

Ejemplo # 1

 f(x,y,z)= yz+xy

Restricciones:
 xy=1

 y^2+x^2=1

Aplicar el método:
  \underset{\bigtriangledown}{\rightarrow} f=(y,z+x,y)

  \underset{\bigtriangledown}{\rightarrow} g=(y,x,0)

  \underset{\bigtriangledown}{\rightarrow} h=(0,2y,2z)

y=\lambda y

z+x=x\lambda+2\mu y

y=2\mu z

xy=1

y^2+x^2=1

x\neq 0

y\neq 0

\lambda = 1

z+x=x+2\mu y

z=2\mu y

y=4\mu ^2y

y=z

2y^2=1

y=\sqrt{1/2}

z=\sqrt{1/2}

x=\sqrt{2}

Ejemplo # 2

Encuentre el máximo valor de la función f(x,y,z)= x + 2y + 3z en la curva de intersección del plano  x-y+z=1 y el cilindro x^{2} + y^{2}=1.


Maximizamos la función f(x,y,z)= x + 2y + 3z restringida en g(x,y,z)= x-y+z=1 y en h(x,y,z)=x^{2} + y^{2}=1. Resolvemos las ecuaciones con la condición de Lagrange \triangledown f -\lambda \triangledown g +\mu \triangledown h.


1= \lambda +2x\mu

2=-\lambda +2y\mu

3=\lambda

x-y +z = 1

x^{2}+y^{2}=1


\frac{1}{\mu ^{2}} + \frac{25}{4\mu ^{2}} =1

y , por tanto \mu ^{2}= \frac{29}{4}, \mu = \frac{\sqrt{29}}{2}. Entonces x=_{-}^{+}\textrm{2}/\sqrt{29}. z= 1 -x +y =1 _{+}^{-}\textrm{7}/\sqrt{29}. y los correspondientes valores de f son:


_{-}^{+}\textrm{} 2/\sqrt{29} + 2(_{+}^{-}\frac{5}{\sqrt{29}}) +3(1_{-}^{+} \frac{7}{\sqrt{29}})=3_{+}^{-}\sqrt{29}


el máximo valor de f en la curva danda es 3_{+}^{-}\sqrt{29.

Ejemplo # 3

Encontrar el máximo de la función:
xyz

con las siguientes restricciones:
 x + y + z = 32
 x - y + z = 0

Al aplicar el metodo nos quedaría la siguiente igualdad.

 <yz, xz, xy> = < \lambda + \mu, \lambda - \mu, \lambda + \mu >

A la hora de igualarlos nos quedarían las siguientes ecuaciones, contando las restricciones así que serian 5 ecuaciones.
 yz = \lambda + \mu
 xz = \lambda - \mu
 xy = \lambda + \mu
 x + y + z = 32
 x - y + z = 0

ahora podemos igualar:

yz = xy
entonces:
z = x

Al sustituir en las restricciones quedarían:
2x + y = 32
2x - y = 0
Restamos las ecuaciones por lo tanto:
 2y = 32
 y = 16

entonces:
2x - 16 = 0
 x = 8

8 - 16 + z = 0
z = 8

concluimos que:
 x = 8
 y = 16
 z = 8

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