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Notación Sigma

De por WikiMatematica.org


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Contenido

Notación Sigma

Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.

Dada una sucesión:

a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},...

Ésta se puede representar como la suma de los n primeros términos con la notación de sumatoria o notación sigma. El nombre de esta notación se denomina de la letra griega \sum (sigma mayúscula, que corresponde a nuesta S de "suma" ). La notación sigma es de la siguiente manera:

\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+...+a_{n}



La ecuación anterior se lee la "suma de a_{k} desde k=1 hasta k=n." La tetra k es el índice de la suma o variable de la sumatoria y se reemplaza k en la ecuación después de sigma, por los enteros 1,2,3,4,5,......n, y se suman las expresiones que resulten, con lo que resulte del lado derecho de la ecuación.

Ejemplos

Ejemplo # 1


Calcule la siguiente Serie:


\sum_{k=1}^{5}k^2


Solucion:


\sum_{k=1}^{5}k^2=1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55



Ejemplo # 2


\sum_{j=3}^{5} \frac{1}{j}


Solucion:


\sum_{j=3}^{5} \frac{1}{j} = \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{20+15+12}{(3)(4)(5)}=\frac{47}{60}



Ejemplo # 3


\sum_{i=5}^{10} i


Solucion:


\sum_{i=5}^{10} i = 5+6+7+8+9+10=45



Ejemplo # 4


\sum_{h=1}^{6} 2


Solucion:


\sum_{h=1}^{6} 2+2+2+2+2+2=12



Ejemplo # 5

Exprese cada suma en notacion sigma:


(a) 5^3+6^3+7^3+8^3+9^3+10^3


Solucion:


5^3+6^3+7^3+8^3+9^3+10^3=\sum_{j=5}^{10} j^3


Ejemplo # 5


(b) \sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+...+\sqrt{77}


Solucion:


\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+...+\sqrt{77}=\sum_{k=3}^{77} \sqrt{k}



Sin embargo, no hay forma unica de escribir una suma en notacion sigma tambien la podemos representar de la siguiente manera:


Solucion


(a)\sum_{j=0}^{5} (5+j)^3


(b)\sum_{k=0}^{74} \sqrt{k+3}



Las siguientes propiedades son resultado natural de las propiedades de los numeros naturales.

Propiedades de las sumas

Sean las sucesiones
a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},...
y
b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},...


Entonces, para todo entero positivo n y todo numero real c, sabemos:
1. \sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k}) = \sum_{k=1}^{n}a_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}

2. \sum_{j=1}^{n}(a_{j}-b_{j}) = \sum_{j=1}^{n}a_{j}-\sum_{j=1}^{n}b_{j}

3. \sum_{i=1}^{n} ca_{i} = c(\sum_{i=1}^{n}a_{i})

4. \sum_{i=1}^{n}(i)=\frac{n(n+1)}{2}

5.\sum_{i=1}^{n}(i^{2})=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

6.\sum_{i=1}^{n}(i^{3})=(\frac{n(n+1)}{2})^{2}

Demostracion


Para la demostracion de la 1 propiedad escribiremos el lado izquierdo de la ecuación de la siguiente manera:

\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})


para obtener:


\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})= (a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+(a_{3}+b_{3})+...+(a_{n}+b_{n})



Sabemos que la suma es asociativa y comnumatativa por lo que los terminos se reordenan y queda de la siguiente manera:

\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n})+(b_{1}+b_{2}+b_{3}+...+b_{n})



y sabemos que la sucesion (a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}) y (b_{1}+b_{2}+b_{3}+......+b_{n}) se puede escribir en notacion sigma de la siguiente manera:

(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}) = \sum_{k=1}^{n}a_{k}


y

(b_{1}+b_{2}+b_{3}+...+b_{n}) = \sum_{k=1}^{n}b_{k}


por lo que al sustituir obtendremos la 1 propiedad:

\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n})+(b_{1}+b_{2}+b_{3}+...+b_{n})=\sum_{k=1}^{n}a_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}


La demostración de la 2 propiedad es similar por lo que no la llevaremos acabo. Para la 3 propiedad utilizaremos la propiedad distributiva de la suma:

\sum_{i=1}^{n} ca_{i}=ca_{1}+ca_{2}+ca_{3}+...+ca_{n}


como se menciono antes por la distributividad de la suma sabemos que:

\sum_{i=1}^{n} ca_{i}=ca_{1}+ca_{2}+ca_{3}+.......+ca_{n}=c(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n})


y por notacion sigma sabemos que:

(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n})=(\sum_{i=1}^{n}a_{i})


por lo que al momento de sustituir obtendremos la 3 propiedad:

\sum_{i=1}^{n} ca_{i}=c(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n})=c(\sum_{i=1}^{n}a_{i})


Ejercicios


Calcule cada suma y expresela sin usar notacion sigma:
1.\sum_{k=1}^{4}k

2.\sum_{k=1}^{4}k^2

3.\sum_{k=1}^{3}\frac{1}{k}

4.\sum_{i=1}^{100}(-1)^i

5.\sum_{j=2}^{12}[(1+\frac{1}{j})](j^2+1)

6.\sum_{k=1}^{10}\frac{1}{k^{(2-k)}}+k(8)

7.\sum_{h=1}^{8}h(10)^h+1

8.\sum_{n=1}^{77}42

Exprese cada suma en notación sigma y calcule el resultado de la suma:

1.1+2+3+4+5+...+100

2.2+4+6+...+20

3.\frac{1}{2ln2}-\frac{1}{3ln3}-\frac{1}{4ln4}-...-\frac{1}{20ln20}

4.\frac{1}{1*2}-\frac{1}{2*3}-\frac{1}{3*4}-...-\frac{1}{999*1,000}

5.\frac{\sqrt{1}}{1^2}+\frac{\sqrt{2}}{2^2}+\frac{\sqrt{3}}{3^2}...\frac{\sqrt{n}}{n^2}

6.1-2x^2+3x^2-4x^2+5x^4+...-100x^{99}

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