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En otras areas donde se aplica la integracion es en la economía y en la biología.

Contenido

Economía

Superávit del consumidor

La función de demanda p(x) es el precio que una compañía tiene que cargar para vender x unidades de un producto.La venta de cantidades mayores exige que se bajen los precios, de modo que la función de la demanda es decreciente.


Si X es la cantidad actual del producto disponible entonces P = p(X) es el precio actual de venta.

Curva de la Demanda

Dividamos nuestra figura en el intervalo  [0,X] en n subintervalos, cada uno de longitud \Delta x y xi^{*}=xi el punto estremo de la derecha del i-ésimo subintervalo.


Si después de que se vendieron la primeras x_{i-1} unidades quedara disponible un total de sólo xi unidades y se fija el precio por unidad en p(xi) dólares, entonces se habrían podido vender \Delta x unidades. Los consumidores que habían pagado p(xi) dólares pusieron un valor alto al producto, habrian pagado lo que estiman que es su valor. De modo que al pagar P dolares ahorraron:


(ahorro por unidad)(numero de unidades) = \left [ p(xi)-P \right ]\Delta x


Si se suman los consumidores y se suman los ahorros se obtiene:

\sum_{i=1}^{n}\left [ p(xi)-P \right ]\Delta x

Luego obtenemos:


\int_{0}^{X}\left [ p(xi)-P \right ]dx

Lo que los economistas llaman superávit del consumidor del producto.

Ejemplo

La demanda de un producto es:

p= 1200 - 0.2x - 0.0001x^{2}

Encuentre el superávit del consumidor cuando el nivel de ventas es 500.


X=500


P=1200-(0.2)(500)-(0.0001)(500)^2=1075

Entonces por la definición:

\int_{0}^{500}\left [ p(xi)-P \right ]dx


= \int_{0}^{500}(1200-0.2x-0.0001x^{2}-1075)dx
= 125x-0.1x^{2}-(0.0001)(\frac{x^{3}}{3}) valuado de 0 a 500
=$ $33,333.33


Biología

Flujo Sanguíneo

La ley del flujo laminar:

\mathit{v(r)}=\frac{P}{4\eta \mathit{l}}(R^{2}-\mathit{r^{2}})

Donde v es la velocidad de la sangre, R es el radio de la vena y  \mathit{l} es la longitud a una distancia  \mathit{r} del eje central, donde P es la diferencia de presión entre los extremos de la vena \eta es la viscosidad de la sangre.


Ahora para calcular el flujo (volumen por unidad de tiempo), el area aproximada del anillo con radio interior r_{i-1} y radio exterior r_{i} es:


Vena.jpg
2\pi r_{i}\Delta r

El volumen total de sangre que fluye a traves de una sección transversal por unidad de tiempo es:


\sum_{i=1}^{n}2\pi r_{i}\mathit{v(r_{i})}\Delta r

Obtenemos


F = \int_{0}^{R}2\pi rv(r)dr


= \int_{0}^{R}2\pi r\frac{P}{4\eta l}(R^{2}-r^{2})


F= \frac{\pi PR^{4}}{8\eta l}

Es llamada ley de Poiseuille, indica que el flujo es proporcional a la cuarta potencia del radio del vaso sanguineo.


Gasto Cardiaco

El gasto cardiaco es el volumen de sangre bombeado por el corazón por unidad de tiempo, la razón del flujo hacia la aorta.

El método de la dilución del colorante se aplica para medir el gasto cardiaco. El colorante se inyecta en la aurícula derecha y fluye por el corazón hacia la aorta.


Sea c(t) la concentración de colorante en el instante t.Si dividimos [0,T] en subintervalos de longitud \Delta t entonces la cantidad de colorante que fluye y pasa por el punto de medición en el intervalo t=t_{i-1} a t=t_{i}

(concentracion)(volumen) = c(t_{i})(F \Delta t)

Donde F es el gasto que queremos determinar.Donde la cantidad de colorante es

F \sum_{i=1}^{n}c(t_{i})\Delta t

Encontramos que la cantidad de colorante es:

A = F \int_{0}^{T}c(t) dt

Por lo tanto el gasto cardiaco se expresa por medio de

F= \frac{A}{\int_{0}^{T}c(t) dt}


Ejemplo

5mg de colorante se inyecta en la aurícula derecha. Se mide la concentración de tinte(miligramos por litro) en la aorta a intervalos de un segundo, como se muestra en la tabla. Estime el gasto cardiaco.

Tablacolorante.jpg

A = 5, \Delta t=1 y T = 10

\int_{0}^{10}c(t) dt =


 \frac{1}{3}[0+4(0.4)+2(2.8)+4(6.5)+2(9.8)+4(8.9)+2(6.1)+4(4)+2(2.3)+4(1.1)+0] = 41.87


F= \frac{A}{\int_{0}^{T}c(t) dt}=  \frac{5}{41.87}=0.12 L/s = 7.2 L/min

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