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Planos Tangentes

De por WikiMatematica.org


http://youtu.be/R815KgIEurw

Supongamos que tenemos una función z=f(x,y), donde f tiene derivadas parciales continuas y sea el punto P(x_0,y_0,z_0) un punto en la superficie S. Sean C_1 y C_2 las curvas obtenidas al intersectar los plano x=x_0 y y=y_0 con la superficie S. Sea T_1 y T_2 las rectas tangentes a la curvas C_1 y C_2 en el punto P.Entonces el plano tangente a la superficie S en el punto P esta definido como el plano que contiene a las rectas T_1 y T_2.

Plano tangente.png

Sabemos que cualquier plano que pase por el punto (x_0,y_0,z_0) y que tenga vector normal \vec{n}=<A,B,C> tiene la ecuación,

A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0

dividiendo esta ecuación por C y haciendo \alpha=-\frac{A}{C} y \beta = -\frac{B}{C}, podemos reescribir la ecuación como

z-z_0=\alpha (x-x_0)+\beta (y-y_0)

si esta ecuación representa al plano tangente en el punto P, entonces su intersección con el plano y=y_0 es la recta tangente T_1. Haciendo y=y_0 en esta ecuación obtenemos

z-z_0=\alpha (x-x_0) el segundo termino se hace cero por que como y=y_0,\;\;(y-y_0)=0

Al despejar para \alpha obtenemos \alpha = \frac{z-z_0}{x-x_0} lo cual podemos identificar como la ecuación de una linea de pendiente a. Pero por lo que sabemos de la interpretación geométrica de las derivadas parciales, la pendiente de la recta tangente T_1 es igual a f_x(x_0,y_0) por lo tanto a=f_x(x_0,y_0)

Haciendo algo muy similar a lo anterior podemos llegar a la conclusión de que b=f_y(x_0,y_0).

Entonces obtenemos que la ecuación del plano tangente al punto P de la superficie S es,

z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)


Contenido

Ejemplo # 1

  • Encontrar la ecuación del plano tangente al paraboloide elíptico:

z = 2x^{2} + y^{2}  en el punto (1,1,3).

Entonces tenemos que derivar: f_x = 4x como x = 1, entonces su resultado es: 4
Igual, tenemos que derivar: f_{y} = 2y como y = 1, entonces su resultado es: 2

En la ecuación del plano tangente sustituímos x_{0},y_{0}, z_{0} por los valores en el punto (1,1,3)

z - 3 = 4(x-1) + 2(y -1)

z - 3 = 4x - 4 + 2y - 2

z - 3 = 4x + 2y - 6

z - 4x - 2y = -3


Entonces, la ecuación del plano tangente al paraboloide elíptico en el punto (1,1,3) es:


  • 4x + 2y - z = 3

Podemos ver en la gráfica el plano y la función:

Grafica1.JPG

Ejemplo # 2

  • z=\sqrt{4-x^2-2y^2} en el punto (1,-1,1)


Eje3.png
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2-2y^2}}

\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-2y}{\sqrt{4-x^2-2y^2}}

\frac{\partial z}{\partial x}(1,-1)=\frac{-1}{\sqrt{4-1-2}}=-1

\frac{\partial z}{\partial y}(1,-1)=\frac{-2}{\sqrt{4-1-2}}=2

z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)

z-1=-1(x-1)+2(y+1)

z-1=-x+1+2y+2

z=-x+4+2y

  • x-2y+z=4

Ejemplo # 3


Eje4.png

  • Siendo f=ycos(x-y) en el punto (2,2,2)

\frac{\partial f}{\partial x}=-ysen(x-y)

\frac{\partial f}{\partial y}=cos(x-y)+ysen(x-y)

\frac{\partial f}{\partial x}(2,2)=0

\frac{\partial f}{\partial y}(2,2)=1

z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)

z-2=0+y+2

  • z=y

Ejemplo # 4

  • Calcular la ecuación del plano tangente a la superficie z=sen(x+y) en el punto (1,-1,0)


\frac{\partial f}{\partial x}=cos(x+y)

\frac{\partial f}{\partial y}=cos(x+y)

\frac{\partial f}{\partial x}(1,-1)=1

\frac{\partial f}{\partial y}(1,-1)=1

z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)

z-0=1(x-1)+(y+1)

  • z-x-y=0

Ejemplo # 5

  • Encontrar la ecuación del plano tangente a la superficie que pasa por el punto:

a) z = 4x^{2}-y^{2}+2y en el punto: (-1, 2, 4)
Eje5a.png

f_x = 8x evaluando en x = -1, su resultado es: -8
f_{y} = -2y + 2 evaluando en y = -2, su resultado es: -2

z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)


Entonces sólo nos queda sustituir y simplificar:
z-4 = -8(x+1) -2(y-2)
z-4 = -8x-8-2y+4
z-4 = -8x-2y-4


Entonces, la ecuación del plano es:

  • 8x+2y+z=0

b) z = yLn(x) en el punto: (1, 4, 0)


Eje5b.png

f_x = y/x evaluando en x = 1 y en y = 4, su resultado es: 4
f_y = Ln(x) evaluando en x = 1, su resultado es: 0

z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)

Nuevamente aplicamos el mismo procedimiento en el inciso anterior:

z = 4(x-1) +0(y-4)
z = 4x-4

Y la ecuación del plano es:

  • z-4x = -4

Ejemplo # 6

  • Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie que pasa por el punto:


Eje6.png
z = x^2+xy+3y; en el pto. (1,1,5)
f_x = 2x+y evaluando en x = 1 y en y = 1, su resultado es: 3
f_y = x+6y evaluando en x = 1 y en y = 1, su resultado es: 7

z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)


Ahora aplicamos lo que ya hemos aprendido en los ejemplos anteriores, y nos va quedando así:

z-5 = 3(x-1) +7(y-1)
z-5 = 3x-3+7y-7
z-5 = 3x+7y-10

Entonces, la ecuación del plano es:

  • 5 = 3x+7y-z

Ejemplo # 7

  • Encuentre la ecuación del plano tangente:

z = 9x^{2}+y^{2}+6x-3y+5 en el punto: (1, 2, 18)
Ejemplo7pt.png


f_x = 18x+6 evaluando en x = 1, su resultado es: 24
f_{y} = 2y-3 evaluando en y = 2, su resultado es: 1

z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)

z-18 = 24(x-1) +1(y-2)
z-18 = 24x-24+y-2
z-18 = 24x+y-26


Entonces, la ecuación del plano es:

  • 8 = 24x+y-z


Ejemplo # 8

  • Encuentre la ecuación del plano tangente:

z = x^{2}-y^{2}-100 en el punto: (1, 1, -100)
Ejemplo8pt.png
D_x = 2x evaluando en x = 1, su resultado es: 2
D_{y} = -2y evaluando en y = 1, su resultado es: -2

z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)

z+100 = 2(x-1) -2(y-1)
z+100 = 2x-2-2y+2
z+100 = 2x-2y


Entonces, la ecuación del plano es:

  • 100 = 2x-2y-z


Ejemplo # 9

encuentre la ecuación del plano tangente

z = 2x^{2}+y^{2} en el punto: (1, 1, 3)
Ejemplo9pt.png
entonces  f(x,y)=4x    f(x,y)=2y

         f(1,1)=4     f(1,1)=2 

entonces la ecuacion del plano tangente en (1,1,3) como

                   z-3=4(x-1)+2(y-1) 
o bien  z=4x+2y-3

Ejemplo # 10

  • Encuentre la ecuacion de la linea en el punto (1,-1,1) y paralela a la recta
     x+2 = y/2 = z-3


 t= x+2, t= y/2, t= z-3.

 x= t-2, y= 2t, z= t+3.

El vector direccion es \vec{v}=<1,2,1>, tomamos los valores que acompañan el valor t.
Tomamos la ecuacion vectorial de la recta\vec{v}=r_o+ tV
\vec{v}= i-j+k+t(i+2j+k) \vec{v}= i-j+k+ti+2tj+tk
\vec{v}= (i-ti)+(2tj-j)+(k+tk)
\vec{v}= (1+t)i+(2t-1)j+(1+t)k

Ejemplo # 11

encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto (2,4,-1) con un vector normal N(2,3,4)

Po(2,4,1)
N(2,3,4)
entonces quedaria asi

 2(x-2)+3(y-4)+4(7+1)=0

entonces todo esto queda

 2x+3y+4Z=12

Ejemplo # 12

Calcule una ecuación del plano tangente a la superficie dada, en el punto especificado.

z=x^2+4y^2 , (2,1,8)

Graph22.JPG Sacamos la derivada parcial respecto de "x" y valuamos en el punto : \frac{\partial f}{\partial x}=2x_{(2,1)}=4

Sacamos la derivada parcial respecto de "y" y valuamos en el punto : \frac{\partial f}{\partial y}=8y_{(2,1)}=8

Sustituimos en la ecuación del plano:

z-8=4(x-2)+8(y-1)
z-8=4x+8y-16

Ecuación del Plano:

4x+8y-z=8

Ejemplo # 13

Calcule una ecuación del plano tangente a la superficie dada, en el punto especificado.

z=e^xln(y) , (3,1,0)

Graph23.JPG Sacamos la derivada parcial respecto de "x" y valuamos en el punto : \frac{\partial f}{\partial x}=e^x_{(3,1)}=e^3

Sacamos la derivada parcial respecto de "y" y valuamos en el punto : \frac{\partial f}{\partial y}=e^x\frac{1}{y}_{(3,1)}=e^3

Sustituimos en la ecuación del plano:

z=e^3(x-3)+e^3(y-1)
z=e^3x+e^3y-4e^3

Ecuación del Plano:

e^3x+e^3y=4e^3 = x+y=4

Ejemplo #14

Sea la función $x^2 +2x^2 +2z^2=21$ trazar a ella planos tangentes que sean paralelos al plano $x+4y+6z=0$

Sea $\vec n=<\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}>$ (vector gradiente) la normal al plano tangente P donde $\vec n=(2x,4y,6z) $y sea $\Pi:x+4y+6z=0$ donde la $\vec n_1=<1,4,6>$ (vector) con $P||\Pi$ -> existe $\alpha$ que pertenece a $IR$ tal que $\vec n =\alpha \vec N_1$ entonces

$<2x_o,4y_o,6z_o>=\alpha<1,4,6>$ -> $x_o=\frac{\alpha}{2}$, $z_o=y_o=\alpha$

y como $x^2+2y^2 +3z^2= 21$ -> $\frac{\alpha^{2}}{4}+2\alpha^2 + 3\alpha^2$-> $\alpha=2$ y $\alpha=-2$

lego el punto de tangencia es $P_o(\pm1,\pm2,\pm2)$

la ecuación del plano tangente es : $P=\vec n \dot (<x,y,z>-<\pm 1, \pm 2,\pm2>)=0$

$P: <1,4,6>*<x\pm1,y\pm2,z\pm2>=0$ por lo tanto

$P: x +4y+6z =\pm 21$

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