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Polinomio de Legendre

De por WikiMatematica.org

Las Funciones de Legendre son las soluciones a las Ecuaciones Diferenciales de Legendre

{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P(x) \right] + n(n+1)P(x) = 0.


Llamadas así por el matemático francés Adrien-Marie Legendre. Estas ecuación diferencial ecuaciones se encuentran frecuentemente en Física y en otros campos técnicos. En particular, aparecen cuando se resuelve la ecuación de Laplace (un tipo de ecuación en derivadas parciales en coordenadas esféricas.


Legendre.jpg


Adrien-Marie Legendre


La ecuación diferencial de Legendre puede resolverse usando el método de serie de potencias. En general la serie de potencias obtenida converge cuando |x| < 1 y en el caso particular de que n sea un entero no negativo (0, 1, 2,...) las soluciones forman una familia de polinomios ortogonales llamados Polinomios de Legendre
Una Expresión explícita
Desarrollando la fórmula se obtiene la siguiente expresión para los Polinomios de Legendre

P_n(x) \, = \, \frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}^2(x+1)^{n-k}(x-1)^k


esta expresión es útil en caso de por ejemplo de querer elaborar un programa que gráfique los polinomios de Legendre, de ésta expresión es relativamente fácil obtener una para los Polinomios Asociados de Legendre, que aparecen en la práctica en la resolución de problemas como el átomo de hidrógeno por ejemplo.


La propiedad de ortogonalidad

Una importante propiedad de los polinomios de Legendre es que éstos son ortogonales con respecto al producto escalar definido en L2 en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1:

\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}


== Propiedades adicionales de los polinomios de Legendre ==

Los polinomios de Legendre son simétricos o anti-simétricos, tal que

P_k(-x) = (-1)^k P_k(x). \,

Desde que la ecuación diferencial y la propiedad ortogonal son escalar-mente independientes, los polinomios de Legendre definidos son estandarizados (a veces llamados normalizados, pero notese que la real norma no es la unidad) por ser escalar tal que

P_k(1) = 1. \,

La derivada en un punto final esta dado por

P_k'(1) = \frac{k(k+1)}{2}. \,

Los polinomios de Legendre pueden construirse usando las tres relaciones de recurrencia

 (n+1) P_{n+1} = (2n+1) x P_n - n P_{n-1}\,

y

{x^2-1 \over n} {d \over dx} P_n = xP_n - P_{n-1}.

Útil para la integración de polinomios de Legendre es

(2n+1) P_n = {d \over dx} \left[ P_{n+1} - P_{n-1} \right].

Traslación de los polinomios de Legendre La traslación de los polinomios de Legendre \tilde{P_n}(x) están definidos como un intervalo unitario ortogonal [0,1]

\int_{0}^{1} \tilde{P_m}(x) \tilde{P_n}(x)\,dx = {1 \over {2n + 1}} \delta_{mn}.

Una expresión explicita para estos polinomios viene dado por

\tilde{P_n}(x)=(-1)^n \sum_{k=0}^n {n \choose k} {n+k \choose k} (-x)^k.

La analogía a la Fórmula de lagendre para la traslación de los polinomios es:

\tilde{P_n}(x) = ( n!)^{-1} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -x)^n \right].\,

Los polinomios asociados de Legendre son una familia de polinomios ortogonales que tienen una aplicación muy importante en áreas como física e ingeniería, aquí se tratará de forma breve algunas de las cosas mas relevantes referentes a dichos polinomios.

Existe una ecuación diferencial, cuya solución se conoce como los polinomios asociados de Legendre; dicha ecuación aparece en la solución del átomo de hidrógeno, y otros problemas de física muy relevantes. La ecuación a la que se está haciendo referencia es

 (1-x^2)y''(x)-2xy'(x)+\left( l(l+1)+\frac{m^2}{(1-x^2)} \right) \, = \, 0

Para l, \, m \in \mathbb{Z}</math> la solución a la ecuación es de la forma
\[y(x) \, = \, P^m_l(x) con los P_l^m(x)\] los antes mencionados polinomios asociados de Legendre, que vienen dados por la fórmula de Olinde Rodrigues
</p>
<dl><dd><tex>P^m_l(x) \, = \, \frac{(-1)^n}{n!\, 2^n}(1-x^2)^{{m}/{2}}\frac{\text{d}^{m+n}}{\text{d}x^{m+n}}(x^2-1)^n

en la solución del átomo de hidrógeno, y en general en la resolución de la Ecuación de Laplace en coordenadas esféricas se obtiene ésta ecuación pero escrita de otra forma, para obtenerla basta con hacer x=\cos \theta, la ecuación es

\text{sen} \theta \frac{\text{d}}{\text{d}\theta}\left( \text{sen} \theta \frac{\text{d}}{\text{d}\theta}\Theta(\theta)\right)+\left[l(l+1)-m^2 \right]\Theta(\theta) \, = \, 0

Una expresión explícita

Desarrollando la fórmula de Rodrigues, se puede obtener una expresión para los polinomios, y es

P_m^n(x) \, = \, (1-x^2)^{m/2}\sum_{k=m}^{n} \frac{n!}{2^n k!}\frac{(m+n)!(x-1)^{n-k}(x+1)^{k-m}}{(m+l-k)!(l-k)!(k-m)!}

ésta expresión es muy útil para realizar por ejemplo un programa que obtenga el valor de un polinomio de legendre evaluado en  x=x_0.

La función Generatriz y la Ortogonalidad de los Polinomios de Legendre

Existe una función con la propiedad de que si se expande en serie de Taylor alrededor de x_0=0, los coeficientes de la expansión son los Polinomios Asociados de Legendre, dicha función es

 \mathcal{G} (x, \, t) \, = \, (-1)^m(1-x^2)^{m/2}\left(\frac{t}{2}\right)^m\frac{(2m)!}{m!}(1-2xt+t^2)^{-(m+1/2)} ésta función es especialmente útil al querer hacer cálculos que por ejemplo involucren integrar los polinomios de legendre, en particular para calcular su norma, como ya se mencionó estos son polinomios ortogonales para un producto interno definido como

 \langle \mathbf{u} | \mathbf{v} \rangle \, = \, \int_{-1}^{1} u(x)v(x) \, \text{d} x entonces para los polinomios de legendre tendremos  \langle P_{n}^{m} | P_{n}^{k} \rangle \, = \, N_{km}\delta_{km} esto quiere decir que los polinomios son base de un espacio de hilbert, y la expresión anterior se denomina relación de ortogonalidad, recuerdese que hemos considerado el caso cuando m y l son enteros, el hecho de ser base de un espacio de Hilbert hace a los polinomios asociados de legendre muy importantes para la mecánica cuántica. El término  N_{km} que aparece en la expresión anterior es la norma de los polinomios asociados de legendre, que se puede calcular igualando el producto interno de un polinomio con si mismo a uno.

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