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Polinomios ortogonales

De por WikiMatematica.org

Los polinomios ortogonales son conjuntos de polinomios que forman una base ortogonal son importantes porque aparecen en la teoría de ecuaciones diferenciales, muy especialmente en la teoría de Sturm-Liouville, la teoría de espacios de Hilbert, la teoría de la aproximación de funciones y la mecánica cuántica.


Espacios de Hilbert L_w^2(\R)

La mayoría de las familias \texcal{F} de polinomios ortogonales más usados son base ortonormal|bases ortogonales de un espacio de Hilbert L_w^2(I) de funciones de cuadrado integrable respecto al producto escalar con función de ponderación w(x)\,. Es decir: \langle p_m, p_n \rangle_\texcal{F} =
\int_{I\subset\R} p_m^*(x)p_n(x)w(x)\ dx =
N_m\delta_{mn}

Donde:

\langle \cdot, \cdot\rangle_\texcal{F} es el producto escalar del espacio L_w^2(I).
N_m\, es un factor de normalización que vale 1 si la familia de polinomios es además ortonormal.
\delta_{mn}\, es el delta de Kronecker.

Además estos polinomios suelen ser los vector propio|vectores propios de un operador diferencial lineal autoadjunto de segundo orden u operador Sturm-Liouville de la forma: \texcal{L}(y) = 
\frac{1}{w}\left[ -\frac{d}{dx}\left[p(x) \frac{dy}{dx} \right] + q(x) y \right]

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