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Por medio del método de arandelas

De por WikiMatematica.org

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Volumen Mediante Metodo de Arandelas

Este método se basa en el método anterior llamado "Método de Discos" pero en este caso se utilizan dos discos. El disco mas pequeño es vació por la tanto se le da el nombre de arandela por formar un especie de solido hueco. En términos generales este método se utiliza cuando el eje de rotación se encuentra a una distancia de la función que formara el solido. Este espacio entre el eje y la función crea un hueco en el solido, por esto mismo se necesita restar el área del hueco al solido en revolución. Es muy importante mentalizar que este método se utiliza dos radios por lo tanto dos discos diferentes pero siempre el ancho del disco es \Delta x o \Delta y dependiendo del eje de rotación.

Método de Arandelas

1. Se dibuja, en un diagrama, el area generatriz, una franja representativa paralela al eje de rotacion, y su rectangulo correspondiente.

2. Se halla el volumen (= circunferencia media X altura X espesor) del anillo cilindrico producido en la rotacion del rectangulo generico con respecto al eje de giro y se halla la suma correspondiente a los n rectangulos.

3. Se aplica el teorema fundamental, o regla de Barrow, suponiendo que el numero de rectangulos crece indefinidamente.

                                                V=\int_{a}^{b} \Pi [f(x)^2 - g(x)^2] dx

Hallar el volumen generado en la rotacion del area limitada por la parabola y^2 = 8x y la ordenada correspondiente a x=2 con respecto a esta recta. Aplicar el metodo del anillo

Volúmenes por método de arandelas.

Dividimos el area mediante franjas verticales y elegimos, para mayor sencillez, el punto P de forma que sea el punto medio del segmento AB. La altura del rectangulo generado es

2y = 4\sqrt[2]{2x}

su base:

\Delta x

y su distancia al eje de giro, es:

2-x

Cuando este rectangulo gire alrededor de este eje se produce un anillo cilindrico de volumen:

2 \Pi (2-x)4\sqrt[2]{2x}\Delta x .

El volumen pedido sera:

 V =8\sqrt{2} \Pi \int_{0}^{2} (2-x) \sqrt{x} dx
= 8\sqrt{2} \Pi \int_{0}^{2} (2\sqrt{x}-\sqrt{x^3})dx
= 256 \Pi u^3 /15

Ejemplos

Ejemplo # 1

  • Hallar el volumen del sólido resultante al hacer girar en el eje x la figura encerrada por las curvas:

 y=x
 y=x^{2}
Anillo1.JPG
para encontrar el área de un anillo: A= (R_{1})^{2}\Pi - (R_{2})^{2} \Pi = \Pi x^{2}-(x^{2})^{2}=\Pi x^{2}-x^{4}}
tenemos que:  R_{1}-R_{2}=x-x^{2}
Encontramos el volúmen
 v= \pi x^{2}-x^{4} \Delta x
calculamos para n-anillos y optimisamos.
 \lim_{n \to \infty } \sum_{i=1}^{n} \pi x^{2}-x^{4} \Delta x
Reescribimos como la integral variando de 0 a 1
\pi\int_{0}^{1} x^{2}-x^{4} dx
resolvemos.
\pi\int_{0}^{1} x^{2}-x^{4} dx =\pi \left [\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{5}}{5}  \right ]_{0}^{1} = \frac{2\Pi}{15}

Ejemplo # 2

  • Encontrar el volúmen del sólido obtenido al girar la región limitada por las curvas y^2=x; x=2y alrededor del eje y

-las curvas quedarían graficadas de la siguiente manera:
Graphic1Wizz366.JPG
siendo la curva roja x=y^2 y la azul x=2y.

lo primero que debemos darnos cuenta es que, al girar la region sobre el eje y, necesitamos tener las funciones respecto al eje y, para asi encontrar los intervalos entre los puntos de intersección sobre el eje y. En este ejemplo las funciones ya están despejadas para x, ya que necesitamos una función que por cada valor de y nos devuelva el valor correspondiente en x, puesto que éste será nuestro radio para cada circunferencia que sumaremos.

para encontrar los puntos de intersección realizamos lo siguente:
igualamos:
y^2=2y
despejamos:
y^2/y=2
obtenemos el punto de interseccion de las 2 curvas sobre el eje y:
y=2.
con esto sabemos que el integral correria desde y=0 hasta y=2.
ahora construyamos el integral:
sabemos que hay dos curvas una sobre la otra, con la grafica podemos darnos cuenta que x=2y está sobre x=y^2, esto quiere decir que el volúmen de un solo disco vendría dado por: v_{i}=\pi ((2y)^2-(y^2)^2)\Delta y,

Entonces, el volúmen total del sólido sería:

          V_{t}=\lim_{n \to\infty }\sum_{i=1}^{n}\pi \left [ (2y_{i})^2-(y_{i}^2)^2 \right ]\Delta y_{i}


Y expresado en una integral definida sería:

          V_{t}=\pi \int_{0}^{2}\left [ 4y^2-y^4 \right ]dy

resolviendo la integral:
\pi \int_{0}^{2}\left [ 4y^2-y^4 \right ]dy = \pi \left [ (4/3y^3)-(1/5y^5) \right
]_{0}^{2}=64\pi /15
la respuesta final: 64\pi /15 u^3

Wizzard 12:12 31 oct 2009 (CST)

Ejemplo # 3

  • Calcular el volúmen del sólido:

 y = 2x
 y = x^2
que gira alrededor del eje x

Grafica(volumenes).JPG


Solución

Como se observa en la gráfica anterior, al girar el sólido en torno al eje x, el sólido que se forma mediante el método de discos es un anillo, entonces se procede a calcular el volúmen total del anillo, sabiendo que éste es: V_iT = V_iR - V_ir Y tomamos en cuenta los valores para cada radio del anillo R = 2x y  r=x^2

Buscamos los intervalos; igualamos  2x = x^2

 2x = x^2
 2x - x^2 = 0
 x(2 - x) = 0

Intervalos [0,2]
 x = 2 , x = 0

Ahora encontramos el  V_iR:

V_iR = \pi R^2_i \Delta x_i = \pi(2x_i)^2 \Delta x_i = 4\pi x^2_i\Delta x_i

Ahora encontramos el  V_ir:

V_ir = \pi r^2_i \Delta x_i = \pi(x^2_i)^2 \Delta x_i = \pi x^4_i\Delta x_i

Ahora encontramos el  V_iT:

V_iT = V_iR - V_ir = 4\pi x^2_i\Delta x_i - \pi x^4_i\Delta x_i
V_iT = \pi (4x^2_i - x^4_i)\Delta x_i

Ahora aplicamos límites  V_iT:

V = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n} \pi (4x^2_i - x^4_i)\Delta x_i

Ahora por medio del teorema fundamental del cálculo, integramos:

 V = \int_{0}^{2} \pi(4x^2 - x^4) dx
 V = \pi \int_{0}^{2} (4x^2 - x^4) dx

=\pi \left [\frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{5}x^5\right ]_{0}^{2}

=\pi [\frac{4}{3}(2)^3 - \frac{1}{5}(2)^5 - [\frac{4}{3}(0)^3 - \frac{1}{5}(0)^5]]

=\pi [\frac{32}{3} - \frac{32}{5}]

= \frac{32\pi}{3} - \frac{32\pi}{5}

V = \frac{64\pi}{15}U^3

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